✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Cada pez de la especie 1 consume semanalmente (1,1,2) unidades de alimentos (A,B,C); la especie 2 consume (3,4,5) y la especie 3 consume (2,1,5). a) Si se vierten semanalmente 25.000 A, 20.000 B y 55.000 C, ¿cuántos ejemplares pueden convivir suponiendo que toda la comida se consume? b) ¿Y si se vierten 15.000 A, 10.000 B y 35.000 C?
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Variables
Sean x, y, z los números de peces de las especies 1, 2 y 3.
2. Primer suministro
x+3y+2z=25000 x+4y+ z=20000 2x+5y+5z=55000
El sistema tiene rango 2. Tomamos z=t. Restando las dos primeras ecuaciones:
y−z=−5000 ⇒ y=t−5000 x=25000−3(t−5000)−2t=40000−5t
La no negatividad exige 5000≤t≤8000.
3. Segundo suministro
x+3y+2z=15000 x+4y+ z=10000 2x+5y+5z=35000
De nuevo z=t:
y=t−5000 x=30000−5t
Ahora 5000≤t≤6000.
4. Comprobación estructural
La tercera ecuación es dependiente de las otras dos, de modo que no puede aparecer una solución única sin añadir otra condición sobre las poblaciones.
Método utilizado
Sistema lineal compatible indeterminado y parametrización
Resultado final
Primer suministro: (x,y,z)=(40000−5t, t−5000, t), 5000≤t≤8000. Segundo: (x,y,z)=(30000−5t, t−5000, t), 5000≤t≤6000. Si se exigen peces enteros, t debe ser entero.
Interpretación del resultado
Las tres ecuaciones no son independientes: el sistema tiene un grado de libertad. Por eso los alimentos disponibles no fijan una única población, sino una familia de combinaciones no negativas.