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Enunciado
Una empresa produce A, B y C en tres máquinas. Horas por unidad: máquina I=(1,2,3), máquina II=(2,2,5) y máquina III=(1,4,2). Las capacidades máximas son 150, 2N y N horas, respectivamente. Formular las combinaciones que pueden producirse y determinar, cuando sea posible, la producción que utiliza todo el tiempo disponible.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Variables
Sea x, y y z la producción de A, B y C.
2. Región de producciones posibles
x+2y+3z≤150 2x+2y+5z≤2N x+4y+2z≤N x,y,z≥0
3. Utilizar todo el tiempo
Para saturar las tres máquinas sustituimos ≤ por =:
x+2y+3z=150 2x+2y+5z=2N x+4y+2z=N
Resolviendo:
x=5N−600 y=(150−N)/4 z=(450−3N)/2
4. Condiciones de no negatividad
x≥0 ⇒ N≥120 y≥0 ⇒ N≤150 z≥0 ⇒ N≤150
Por tanto, el uso exacto de las tres capacidades con producción no negativa es posible para 120≤N≤150.
5. Nota sobre unidades enteras
Si cada producto sólo puede fabricarse en unidades enteras, además habrá que exigir que las tres expresiones anteriores sean enteras.
Método utilizado
Sistema lineal paramétrico y restricciones de no negatividad
Resultado final
Producciones posibles: x+2y+3z≤150, 2x+2y+5z≤2N, x+4y+2z≤N, x,y,z≥0. Si se usan exactamente todas las horas: x=5N−600, y=(150−N)/4, z=(450−3N)/2. Esta producción es no negativa cuando 120≤N≤150.
Interpretación del resultado
El parámetro N determina simultáneamente la capacidad de las máquinas II y III. Para N fuera de [120,150], no existe una combinación no negativa que agote las tres capacidades a la vez; sí pueden existir producciones factibles que dejen horas sin utilizar.