✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
f(x,y,z)=(1/3)x³+2y²+z²−2xy+3xz−(131/16)x+4y−9z+1. Comprobar que A=(13/4,5/8,−3/8) y B=(9/4,1/8,9/8) son críticos y clasificarlos como máximos, mínimos o silla, local/global.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Hessiana
H=[[2x,−2,3], [−2,4,0], [3,0,2]].
2. Punto A
Menores líderes: 13/2>0, 22>0, det(H)=8>0 ⇒ H positiva definida ⇒ mínimo local estricto.
3. Punto B
det(H)=−8<0 ⇒ Hessiana indefinida ⇒ silla.
4. Globalidad
Como f contiene x³/3, toma valores arbitrariamente grandes y pequeños; A no puede ser mínimo global.
Método utilizado
Hessiana y menores principales
Resultado final
A=(13/4,5/8,−3/8) es mínimo local estricto; B=(9/4,1/8,9/8) es punto de silla. No hay extremo global por el término cúbico en x.
Interpretación del resultado
La Hessiana en A es definida positiva; en B es indefinida. La función es no acotada globalmente.