✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Calcular extremos: a) z=xy, x²+y²=8. b) z=eˣ+eʸ, x+y=10. c) z=(x−1)²+y², y²=4x. d) z=√(x²+y²), x+y=2. e) z=x²+y², x²+y=1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a)
En x²+y²=8, |xy|≤(x²+y²)/2=4.
b)
Con y=10−x, e^x+e^(10−x) es convexa y se minimiza en x=5. Tiende a ∞ cuando |x|→∞.
c)
y²=4x ⇒ z=(y²/4−1)²+y²=1+y²/2+y⁴/16, mínimo y=0.
d)
Distancia del origen a x+y=2: pie (1,1), valor √2.
e) Restricción corregida: x²+y=1
Despejamos y=1−x² y sustituimos:
f(x)=x²+(1−x²)²=x⁴−x²+1 f'(x)=4x³−2x=2x(2x²−1).
Los críticos son x=0 y x=±1/√2. Entonces:
x=0 ⇒ y=1, z=1 (máximo local). x=±1/√2 ⇒ y=1/2, z=3/4 (mínimos globales).
Como f(x)→∞ cuando |x|→∞, no hay máximo global.
Comprobación alternativa
Usando x²=1−y, con y≤1:
z=1−y+y²=(y−1/2)²+3/4.
Se confirma el mínimo global en y=1/2.
Método utilizado
Lagrange y sustitución
Resultado final
a) máx 4 en (2,2),(−2,−2); mín −4 en (2,−2),(−2,2). b) mín 2e⁵ en (5,5), sin máximo. c) mín 1 en (0,0), sin máximo. d) mín √2 en (1,1), sin máximo. e) mínimos globales 3/4 en (±1/√2,1/2); (0,1) es máximo local de valor 1, pero no existe máximo global.
Interpretación del resultado
La sustitución permite convertir cada restricción en un problema de una variable. En el apartado e), la restricción correcta del escaneo es x²+y=1; la versión anterior había copiado por error x²+y²=1 y se corrige en esta versión.