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Enunciado
P(x,y,z)=x³+6yz. Contratos: x+y=6 y z=2. Hallar producción que minimiza pérdidas, nivel mínimo y qué contrato convendría renegociar atendiendo al efecto marginal.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Aplicar contratos
z=2 y y=6−x.
P=x³+12(6−x)=x³−12x+72.
2. Minimizar
P′=3x²−12=0 ⇒ x=2 (mínimo en el intervalo productivo), y=4. P=56.
3. Multiplicadores
En (2,4,2): P_x=P_y=12 y P_z=24. El compromiso z=2 pesa aproximadamente el doble en el coste marginal.
Método utilizado
Lagrange y multiplicadores
Resultado final
Con cantidades no negativas: x=2, y=4, z=2; pérdidas mínimas 56. El segundo contrato tiene mayor coste marginal (24 frente a 12), por lo que conviene renegociarlo antes.
Interpretación del resultado
Los multiplicadores cuantifican cuánto se reducirían las pérdidas al relajar cada compromiso contractual.