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Enunciado
Presupuesto total14000 €; x,y,z son miles de euros. Rentabilidades esperadas 50%,100%,150%. Riesgo R=2x²+y²+3z². Invertir todo y obtener rentabilidad esperada15000 €. Hallar cartera de riesgo mínimo y riesgo; estimar cómo cambia el riesgo si aumenta el presupuesto1000 € o si baja la rentabilidad objetivo1000 €.
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Desarrollo paso a paso
1. Restricciones (miles)
x+y+z=14 0,5x+y+1,5z=15.
2. Lagrange
Con R=2x²+y²+3z², las FOC y las dos igualdades dan x=2,y=8,z=4.
R=2·4+64+3·16=120.
3. Multiplicadores
Con L=R+λ₁(x+y+z−14)+λ₂(0,5x+y+1,5z−15), λ₁=0 y λ₂=−16. Por envolvente dR*/dPresupuesto=−λ₁=0 y dR*/dRentabilidad=−λ₂=16.
Método utilizado
Lagrange con dos restricciones y multiplicadores
Resultado final
Invertir 2000 € en el activo1, 8000 € en el activo2 y 4000 € en el activo3; riesgo mínimo R=120. +1000 € de presupuesto cambia el riesgo en ≈0 a primer orden. Rebajar en1000 € la rentabilidad objetivo reduce el riesgo en ≈16; esta segunda opción reduce más el riesgo.
Interpretación del resultado
Los multiplicadores separan el valor marginal de presupuesto y rentabilidad exigida: el presupuesto tiene multiplicador cero en el punto actual, mientras la rentabilidad objetivo tiene coste marginal 16.