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Enunciado
Q(x,y)=xy (miles de unidades), objetivo de producción Q=8. Costes C=2x+4y (miles de €). Además x+y≤9 y x,y>0. Plantear min/max, resolver por Lagrange/Hessiano, decidir globalidad, hallar peor decisión y estimar coste mínimo si Q aumenta a8,5.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Factibilidad
xy=8 ⇒ y=8/x. x+8/x≤9 ⇒ x∈[1,8].
2. Coste
C=2x+32/x.
C′=2−32/x²=0 ⇒ x=4,y=2,C=16. En extremos: C(1,8)=34 y C(8,1)=20.
3. Sensibilidad
Mientras x+y≤9 siga inactiva en el mínimo, C*(q)=4√(2q), con derivada 4/√(2q). En q=8 vale1.
Método utilizado
Lagrange, globalidad y sensibilidad
Resultado final
Mínimo global: x=4,y=2, coste16 miles de €. Máximo global: x=1,y=8, coste34 miles de €. Si Q sube de8 a8,5, el coste mínimo pasa aproximadamente a16,5 (exacto 4√17≈16,492).
Interpretación del resultado
La restricción x+y≤9 compacta el tramo de la hipérbola. El mínimo interior equilibra costes marginales; el máximo se alcanza en uno de los extremos permitidos.