Ejercicio de optimización 62 resuelto: Reparto de una herencia para minimizar impuestos

Desarrollo paso a paso

1. Variables y función objetivo

Sean a,b,c>0 las edades de los tres hermanos y x,y,z las cantidades de herencia que reciben. La restricción es x+y+z=H. Si la constante común de proporcionalidad del impuesto es k>0, minimizar el impuesto total equivale a minimizar:

T(x,y,z)=a x²+b y²+c z²

2. Lagrangiana

L=a x²+b y²+c z²−λ(x+y+z−H)

Las condiciones de primer orden son:

2ax=λ
2by=λ
2cz=λ
x+y+z=H

Por tanto:

x=λ/(2a),  y=λ/(2b),  z=λ/(2c)

Usando x+y+z=H:

λ = 2H / (1/a+1/b+1/c)

3. Reparto óptimo

x = H·bc/(ab+ac+bc)
y = H·ac/(ab+ac+bc)
z = H·ab/(ab+ac+bc)

4. Comprobación

La Hessiana de T es diag(2a,2b,2c), positiva definida cuando las edades son positivas. Por ello la función es estrictamente convexa y el candidato anterior es el único mínimo global.

Interpretación

Equivalentemente, cada parte es proporcional a 1/edad. En el modelo fiscal del enunciado, un coeficiente de edad mayor penaliza más el cuadrado de la cantidad recibida, por lo que el reparto de mínimo impuesto asigna menos a los hermanos de mayor edad.

Método utilizado

Multiplicadores de Lagrange y convexidad