Ejercicio resuelto: beneficio máximo, marginal y elasticidad

Desarrollo paso a paso

1. Construir la función beneficio

I(x)=x·P(x)=x(92−x²/2)=92x−x³/2
B(x)=I(x)−C(x)=−x³/2+96x−375.

Es una función polinómica de grado 3, por lo que su dominio matemático es ℝ.

2. Máximo del beneficio y tarifa correspondiente

B′(x)=−3x²/2+96.
B′(x)=0 ⇒ x²=64 ⇒ x=8 (se descarta x=−8 por no tener sentido económico).
B″(x)=−3x ⇒ B″(8)=−24<0.

Por tanto, x=8 es un máximo local y, en el dominio económico, el máximo relevante.

P(8)=92−8²/2=60.
B(8)=−8³/2+96·8−375=137.

La tarifa asociada al máximo es 60 u.m. por unidad, con una demanda de 8 unidades y un beneficio máximo de 137 u.m.

3. Crecimiento del beneficio

Para x≥0, B′(x)>0 si 0<x<8 y B′(x)<0 si x>8. Así, el beneficio crece hasta x=8 y después disminuye.

4. Beneficio marginal en x=10

B′(10)=−3·10²/2+96=−54.

Alrededor de una demanda de 10 unidades, aumentar la demanda en una unidad reduce el beneficio aproximadamente en 54 u.m.

5. Diferencial entre x=5 y x=5,5

dx=5,5−5=0,5.
B′(5)=−3·5²/2+96=58,5.
dB(5)=B′(5)·dx=58,5·0,5=29,25.

El método pedido en el control aproxima el incremento del beneficio en 29,25 u.m.

6. Elasticidad del beneficio en x=6

B(6)=93,   B′(6)=42.
ε_B(6)=B′(6)·6/B(6)=42·6/93≈2,71.

En torno a x=6, un aumento del 1% de la demanda produce aproximadamente un aumento del 2,71% del beneficio.

Método utilizado

Función beneficio, derivadas, diferencial y elasticidad