Ejercicio resuelto: estudio de f(x)=2x²/(x²−1)

Desarrollo paso a paso

1. Dominio

x²−1=0 ⇒ x=±1.
Dom f=ℝ{−1,1}.

2. Cortes con los ejes

Para cortar el eje x imponemos f(x)=0. El numerador 2x² sólo se anula en x=0 y el denominador vale −1, por lo que el único corte es (0,0). Para el eje y, x=0 vuelve a dar f(0)=0.

3. Regiones de signo

f(x)>0 si x<−1 o x>1.
f(x)<0 si −1<x<0 o 0<x<1.
f(0)=0.

4. Simetría

f(−x)=2(−x)²/((−x)²−1)=f(x).

La función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje y.

5. Asíntotas

En x=1 y x=−1 el denominador se anula y los límites laterales son infinitos, por lo que hay dos asíntotas verticales.

x=−1,  x=1.

Como numerador y denominador tienen el mismo grado, el cociente de los coeficientes principales es 2:

lim(x→±∞) 2x²/(x²−1)=2.

La asíntota horizontal es y=2. No existe asíntota oblicua.

6. Representación gráfica

Una forma útil de leer la gráfica es escribir f(x)=2+2/(x²−1): fuera de las asíntotas verticales las ramas se sitúan por encima de y=2, mientras que entre −1 y 1 la función es no positiva y toca el eje x en el origen.

Método utilizado

Dominio, signo, simetría y límites