✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
C(x)=x³−2x²+x, x>1. a) Representar C y su inversa x(C). b) Comentar si puede obtenerse expresión exacta. c) Hallar x′(C),x″(C). d) Aproximar x(C) cerca de C=12.
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Desarrollo paso a paso
Monotonía
C′=(3x−1)(x−1)>0 para x>1 ⇒ inversa.
Derivadas de la inversa
x′(C)=1/C′(x)=1/(3x²−4x+1). x″(C)=−C″(x)/(C′(x))³=−(6x−4)/(3x²−4x+1)³.
En C=12
C(3)=12; x′=1/16; x″=−14/4096=−7/2048.
Método utilizado
Teorema de la función inversa y Taylor
Resultado final
C es estrictamente creciente para x>1, así que posee inversa. x(12)=3, x′(12)=1/16, x″(12)=−7/2048. Linealmente x(C)≈3+(C−12)/16; a segundo orden: 3+(C−12)/16−7(C−12)²/4096.
Interpretación del resultado
La inversa existe y es única en x>1 aunque la fórmula cerrada por Cardano sea poco práctica; la aproximación local es mucho más útil.