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Enunciado
Razonar afirmaciones sobre dos funciones inversas y dos funciones implícitas. En las implícitas, calcular además las parciales z_x y z_y en los puntos indicados: e^z+z+xy+2=0 en (−1,3,0) y x²+3xy+y²+2z²−xyz−6=0 en (1,1,1).
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Desarrollo paso a paso
a) Inversa de x³+4x+3
y′=3x²+4>0; y(0)=3 ⇒ x(3)=0; x_inv′(3)=1/4.
b) Inversa de e^{2x}+x−2
y′=2e^{2x}+1>0; y(0)=−1 ⇒ x(−1)=0; x_inv′(−1)=1/3.
c) e^z+z+xy+2=0
F_x=y=3; F_y=x=−1; F_z=e^z+1=2. z_x=−F_x/F_z=−3/2; z_y=−F_y/F_z=1/2.
d) x²+3xy+y²+2z²−xyz−6=0
En (1,1,1): F_x=4; F_y=4; F_z=3. z_x=z_y=−4/3.
Método utilizado
Inversa e implícita mediante derivadas
Resultado final
Las afirmaciones de inversa son verdaderas. Para e^z+z+xy+2=0: z_x(−1,3)=−3/2 y z_y(−1,3)=1/2. Para x²+3xy+y²+2z²−xyz−6=0: z_x(1,1)=z_y(1,1)=−4/3.
Interpretación del resultado
La monotonicidad estricta asegura las inversas globales. En los casos implícitos, F_z≠0 garantiza una función local z(x,y); la ampliación 2015-16 permite calcular ambas sensibilidades parciales.