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Enunciado
Q(K,L)=AK^αL^β. a) Demostrar homogeneidad por Euler. b) Relacionar suma de elasticidades y rendimientos crecientes. c) Generalizar a Cobb-Douglas. d) Discutir funciones homogéneas y no homogéneas.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Euler
Q_K=αQ/K; Q_L=βQ/L ⇒ KQ_K+LQ_L=(α+β)Q.
Elasticidades
ε_K=Q_K·K/Q=α; ε_L=β.
Ampliación · Euler, elasticidades y rendimientos en una sola cadena
Q=AK^αL^β KQ_K+LQ_L=(α+β)Q ε_K=KQ_K/Q=α ε_L=LQ_L/Q=β ε_K+ε_L=α+β.
La suma de elasticidades coincide con el grado de homogeneidad: mayor que 1 implica rendimientos crecientes, igual a 1 constantes y menor que 1 decrecientes. Esta conclusión depende de la homogeneidad diferenciable; no debe extrapolarse a una función arbitraria.
Método utilizado
Euler y elasticidades
Resultado final
Q es homogénea de grado α+β. Elasticidades respecto a K,L son α,β y suman el grado. Si α+β>1 hay rendimientos crecientes; =1 constantes; <1 decrecientes. La regla “suma de elasticidades=grado” vale para funciones homogéneas diferenciables, no para una función arbitraria no homogénea.
Interpretación del resultado
En Cobb-Douglas, los exponentes tienen una interpretación económica doble: elasticidades de producción y componentes del grado de homogeneidad.