✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Razonar: a) toda función no negativa tiene área infinita en [0,∞). b) ∫_0^∞ x e^(−x)dx=1. c) el cambio x=y² permite concluir ∫_0^1 dx/x=0. d) ∫_0^1 senx/x dx es impropia.
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Desarrollo paso a paso
Justificaciones
a) e^(−x)≥0 y ∫_0^∞e^(−x)dx=1: contraejemplo. b) Integración por partes ⇒1. c) ∫_0^1dx/x=+∞; el cambio no la convierte en 0. d) El integrando no está definido en 0, aunque su límite es 1.
Método utilizado
Convergencia y cambios de variable
Resultado final
a) Falso. b) Verdadero. c) Falso: la integral diverge y no pueden manipularse límites divergentes como números. d) Es impropia tal como está escrita por la singularidad en x=0, pero es convergente porque senx/x→1 y puede prolongarse continuamente.
Interpretación del resultado
Una singularidad removible puede producir una integral impropia convergente; una integral divergente no admite operaciones algebraicas ordinarias con infinitos.