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Enunciado
Resolver 12 integrales impropias del ejercicio 1, con infinitos, singularidades en 0 y parámetros p.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Resultados
a) ∫_1^∞x^(−2)dx=1.
b) ∫_1^∞dx/(1+x²)=π/4.
c) ∫_0^∞x dx diverge.
d) ∫_{−∞}^0 cosx dx no converge (sen del extremo oscila).
e) ∫_1^∞x^(−p)dx=1/(p−1), p>1.
f) ∫_0^∞e^(−px)dx=1/p sólo si p>0.
g) ∫_0^1dx/x diverge.
h) ∫_0^1lnx dx=−1.
i) ∫_0^1x^(−p)dx diverge si p>1.
j) =1/(1−p), 0<p<1.
k) ∫_0^∞x^(−p)dx diverge para p>1 por x=0.
l) atravesar x=0 impide la convergencia; para p real no entero también surgen problemas de definición en x<0.
Método utilizado
Criterios p e integrales impropias
Resultado final
a) 1. b) π/4. c) Diverge. d) No converge. e) 1/(p−1) para p>1. f) 1/p si p>0 y diverge si p≤0. g) Diverge. h) −1. i) Diverge para p>1. j) 1/(1−p) para 0<p<1. k) Diverge para p>1 por la singularidad en 0. l) No converge/no está bien definida en general para p>1 al atravesar x=0.
Interpretación del resultado
Una integral sobre un intervalo infinito puede fallar por el infinito, por una singularidad interior o por ambos; hay que separar cada punto impropio.