Enunciado
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Plantear la función implícita
1000=f(u), u=(Q(K,L)−L²)/K²
Para derivar Q implícitamente necesitamos trabajar en una rama donde f′(u)≠0. Esa condición permite cancelar f′(u); si f′(u)=0, el argumento manuscrito no basta para garantizar las fórmulas que siguen.
2. Productividad marginal del capital Q_K
Derivamos 1000=f(u) respecto de K:
0=f′(u)·u_K
Ahora derivamos u=(Q−L²)K^(−2):
u_K=Q_K K^(−2)−2(Q−L²)K^(−3)
Como f′(u)≠0:
Q_K/K²−2(Q−L²)/K³=0 KQ_K−2(Q−L²)=0 Q_K=2(Q−L²)/K
Interpretación: Q_K mide el incremento aproximado de producción que produce una unidad adicional de capital K manteniendo L constante.
3. Productividad marginal del trabajo Q_L
Derivamos respecto de L:
0=f′(u)·u_L u_L=(Q_L−2L)/K²
De nuevo, si f′(u)≠0:
Q_L−2L=0 Q_L=2L
Interpretación: la productividad marginal del trabajo depende linealmente de L en la rama considerada.
4. Obtener la forma local de Q
La igualdad f(u)=1000 mantiene u constante en cada rama regular. Sea c ese valor constante:
(Q−L²)/K²=c Q(K,L)=L²+cK²
Esta forma permite ver directamente la homogeneidad y sirve también para comprobar las derivadas anteriores.
5. Comprobar la homogeneidad
Q(tK,tL)=(tL)²+c(tK)² =t²(L²+cK²) =t²Q(K,L)
Por tanto, Q es homogénea de grado 2 en cada rama regular de la ecuación implícita.
6. Verificación mediante el teorema de Euler
KQ_K+LQ_L =K·[2(Q−L²)/K]+L·2L =2(Q−L²)+2L² =2Q
Euler confirma el grado 2.
7. Aumento simultáneo del 30 % en K y L
K_nuevo=1,3K L_nuevo=1,3L Q(1,3K,1,3L)=1,3²Q(K,L)=1,69Q(K,L)
La producción aumenta exactamente un 69 %, no sólo un 30 %. Este resultado es exacto por homogeneidad, no una aproximación marginal.
8. Rendimientos a escala
Como el grado de homogeneidad es 2>1, la producción presenta rendimientos crecientes a escala: si todos los factores aumentan en una misma proporción, la producción aumenta en una proporción mayor.
9. Derivada marginal cruzada Q_LK
Partimos de la expresión más sencilla:
Q_L=2L Q_LK=∂(2L)/∂K=0
Equivalentemente, usando Q=L²+cK², se obtiene Q_K=2cK y Q_KL=0.
10. Interpretación de Q_LK=0
En esta forma funcional, los factores son independientes en sentido marginal cruzado: cambiar K no modifica la productividad marginal de L y cambiar L no modifica la productividad marginal de K. Esto no significa que uno de los factores sea irrelevante para la producción total; ambos contribuyen a Q, pero sus efectos marginales no interactúan entre sí.
Revisión del apunte: los resultados manuscritos Q_K=2(Q−L²)/K, Q_L=2L, grado 2 y Q_LK=0 son correctos bajo la condición regular f′(u)≠0. La web añade esta condición, que en la hoja se cancela implícitamente sin explicitarla.
Método utilizado
Derivación implícita, Euler, rendimientos a escala y derivada cruzada
Resultado final
Interpretación del resultado
La función presenta rendimientos crecientes a escala: un aumento proporcional de todos los factores provoca un aumento más que proporcional de la producción. La derivada cruzada nula indica independencia marginal entre capital y trabajo dentro de esta forma funcional local: variar un factor no altera la productividad marginal del otro.