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Enunciado
Clasificar por su paridad las funciones g(x)=x⁴−3 y u(x)=3x³+x, justificando el resultado mediante g(−x) y u(−x).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Recordar las definiciones
Función par: f(−x)=f(x) Función impar: f(−x)=−f(x)
La comparación debe hacerse para todo x del dominio, y el dominio debe ser simétrico respecto de 0.
2. Primera función: g(x)=x⁴−3
g(−x)=(−x)⁴−3=x⁴−3=g(x)
Por tanto, g es una función par.
3. Segunda función: u(x)=3x³+x
u(−x)=3(−x)³+(−x)=−3x³−x=−(3x³+x)=−u(x)
Por tanto, u es una función impar.
4. Interpretación gráfica
La gráfica de g se refleja sobre sí misma al cambiar x por −x, por lo que es simétrica respecto del eje de ordenadas. La gráfica de u se conserva mediante una rotación de 180° alrededor del origen.
Método utilizado
Sustitución x→−x y definición de función par/impar
Resultado final
g(x)=x⁴−3 es par y u(x)=3x³+x es impar.
Interpretación del resultado
Una función par es simétrica respecto del eje y; una función impar es simétrica respecto del origen. La clasificación se obtiene comparando f(−x) con f(x) y con −f(x).