Calculadora de integrales paso a paso
Calcula integrales indefinidas, definidas, impropias, dobles y triples; consulta el procedimiento paso a paso, aplica métodos avanzados y comprueba el resultado simbólicamente.
Ejemplos: x^2, sin(x), 1/x, exp(x), x*cos(x), sqrt(x).
Integral
Procedimiento paso a paso
v0.5Comprobación
Representación gráfica
Función introducida.
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¿Qué es una integral?
Una integral es una operación fundamental del cálculo que permite obtener una función a partir de su derivada y, en el caso de las integrales definidas, calcular acumulaciones y áreas netas entre una curva y el eje horizontal.
Integral indefinida
Busca una familia de primitivas. Si F′(x) = f(x), entonces la integral de f(x) es F(x) + C, donde C es una constante.
Integral definida
Evalúa la acumulación entre dos límites. Mediante el teorema fundamental del cálculo, se obtiene como F(b) − F(a).
Integral impropia
Aparece cuando un límite es infinito o cuando el integrando presenta una singularidad. En esos casos se estudia mediante límites y, si es necesario, límites laterales por tramos.
Integrales dobles y triples
Permiten acumular una función sobre regiones de dos o tres variables. La calculadora v0.5 resuelve integrales iteradas con límites independientes y muestra el resultado de cada etapa.
Métodos habituales para resolver integrales
Según la función, puede ser suficiente aplicar reglas directas o ser necesario utilizar técnicas como sustitución, integración por partes, identidades trigonométricas o descomposición en fracciones parciales.
Integrales impropias, singularidades y límites infinitos
Una integral impropia puede aparecer porque uno de los límites sea infinito o porque la función deje de ser regular dentro del intervalo. La calculadora permite usar inf, -inf o ∞ y, en intervalos finitos, busca singularidades reconocibles antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo.
Si encuentra un punto singular, divide el intervalo y calcula los límites laterales de cada tramo. La integral completa solo se clasifica como convergente cuando todos los tramos necesarios convergen. Así se evita considerar como válida una cancelación artificial de infinitos a ambos lados de una discontinuidad.
Cómo calcular integrales dobles y triples
Una integral múltiple puede resolverse de forma iterada: primero se integra respecto de la variable interior y después respecto de las variables exteriores. En dominios rectangulares o cuboidales con límites independientes, cada par de límites es constante respecto de las variables de integración. La v0.5 muestra el resultado parcial después de cada integración para que el proceso sea verificable.
Funciones especiales en integración
No todas las integrales poseen una primitiva elemental. Expresiones clásicas como e−x², sin(x)/x o ex/x se describen mediante funciones especiales. Cuando reconoce uno de estos patrones, la calculadora lo identifica y explica por qué aparece una función como erf, Si o Ei.
Ejemplos de integrales
| Función | Integral indefinida |
|---|---|
| x² | x³ / 3 + C |
| sin(x) | −cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
Preguntas frecuentes sobre integrales
¿Qué significa la constante C?
En una integral indefinida, todas las primitivas de una misma función difieren en una constante. Por eso se añade C al resultado.
¿Cuál es la diferencia entre una integral definida y una indefinida?
La indefinida devuelve una familia de funciones primitivas; la definida devuelve un valor asociado a la acumulación entre dos límites.
¿Cómo puedo comprobar una integral indefinida?
Deriva la primitiva obtenida. Si recuperas la función original, la antiderivada es correcta en el dominio considerado.
¿La calculadora explica las integrales paso a paso?
Sí. Cuando reconoce con seguridad la estructura, identifica el método y muestra reglas y pasos intermedios. Si no puede justificar una transformación de forma fiable, evita inventar pasos y conserva el resultado simbólico.
¿La integral definida siempre representa un área positiva?
No. Una integral definida representa área con signo: las zonas situadas bajo el eje horizontal contribuyen negativamente.
¿Puedo calcular integrales impropias con infinito?
Sí. En la pestaña de integral impropia puedes usar inf, -inf o ∞ como límites. La calculadora analiza los límites y señala la convergencia cuando puede determinarla de forma fiable.
¿Qué ocurre si hay una singularidad dentro de un intervalo finito?
La calculadora intenta detectarla antes de evaluar la integral. Si la encuentra, divide el intervalo en subintervalos y estudia los límites laterales de la primitiva en cada punto singular.
¿Por qué 1/x entre −1 y 1 no vale cero?
Porque la integral impropia diverge en x = 0. Aunque exista una simetría que produzca un valor principal de Cauchy igual a cero, la integral impropia ordinaria exige que converjan por separado los límites laterales.
¿La calculadora resuelve integrales dobles y triples?
Sí. La v0.5 incorpora integrales dobles y triples iteradas con límites independientes, mostrando el resultado de cada integración parcial.
¿Qué es una sustitución trigonométrica?
Es una técnica que sustituye la variable por una función trigonométrica para simplificar raíces como √(a²−x²), √(a²+x²) o √(x²−a²).
¿Qué ocurre si la primitiva requiere una función especial?
Cuando reconoce patrones seguros, la calculadora puede expresar el resultado mediante funciones especiales como erf, Si, Ci o Ei y explicar su aparición.
Nota: la calculadora es una herramienta educativa y de comprobación. Algunas integrales no tienen una primitiva expresable mediante funciones elementales.