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Enunciado
Considere la matriz input-output B del ejercicio 19 y D=(400,300,100,200)^T. Calcule el vector de producción total usando operaciones con matrices particionadas por bloques. Sugerencia: use Cramer en sus dos formas, mediante la inversa o mediante determinantes.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Particionar la matriz de Leontief
Para la matriz B del ejercicio 19:
I-B = [ P Q ]
[ 0 R ]
con:
P=[ 0,7 -0,4] Q=[-0,1 -0,2] R=[ 0,8 -0,3] [-0,5 0,8] [ 0 -0,1] [-0,5 0,7]
y D₁=(400,300)ᵀ, D₂=(100,200)ᵀ.
2. Resolver el bloque inferior
R X₂ = D₂ X₂=(13000/41,21000/41)ᵀ
3. Resolver el bloque superior
P X₁ + Q X₂ = D₁ P X₁ = D₁-QX₂ = (21900/41,14400/41)ᵀ
Por tanto:
X₁=(194000/123,175250/123)ᵀ
4. Vector completo
X=(194000/123, 175250/123, 13000/41, 21000/41)ᵀ
Usar Cramer sobre cada bloque da los mismos cocientes de determinantes.
Método utilizado
Modelo de Leontief, matrices y sistemas lineales
Resultado final
X=(194000/123,175250/123,13000/41,21000/41)^T≈(1577,236;1424,797;317,073;512,195)^T.
Interpretación del resultado
La estructura por bloques permite resolver primero los sectores 3–4 y luego los 1–2. Es computacionalmente más eficiente que invertir directamente toda la matriz y muestra cómo una parte de la economía alimenta a la otra.