✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Demostrar det[[1,1,1],[a,b,c],[a²,b²,c²]]=(b-a)(c-a)(c-b).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Restar columnas
C2←C2-C1 y C3←C3-C1 permiten factorizar (b-a) y (c-a).
2. Último factor
El determinante 2×2 restante aporta (c-b).
3. Resultado
(b-a)(c-a)(c-b)
Ampliación paso a paso · apuntes revisados
D=det([[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]) C2←C2-C1, C3←C3-C1 =det([[1,0,0],[a,b-a,c-a],[a^2,b^2-a^2,c^2-a^2]]) =(b-a)(c-a) det([[1,0,0],[a,1,1],[a^2,a+b,a+c]]) =(b-a)(c-a)[(a+c)-(a+b)] =(b-a)(c-a)(c-b)
El paso clave es usar b²-a²=(b-a)(b+a) y c²-a²=(c-a)(c+a) después de las restas de columnas.
Método utilizado
Vandermonde
Resultado final
(b-a)(c-a)(c-b).
Interpretación del resultado
El determinante se anula cuando dos parámetros coinciden y tiene grado total 3; los tres factores de diferencias determinan su forma.