Ejercicio 47 de matrices resuelto: Nueve…

✓ Solución revisada y verificada

Enunciado

Razonar las afirmaciones a)-i) del enunciado sobre rango máximo, A^T A, idempotencia, determinantes de productos inversos, Cayley-Hamilton 2×2, simetría de A^-1B^TA, |A^TA^-1|, traspuesta de (AB+A)^-1 y rangos de A²/A³.

Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación

Desarrollo paso a paso

1. a-c

a) rg≤min(m,n), no m+n. b) A^TA invertible fuerza A invertible, por tanto el producto es invertible. c) A=I es idempotente e invertible.

2. d-e

d) ambos determinantes valen 1/(|A||B|). e) es Cayley-Hamilton para 2×2.

3. f

Aunque A^-1B^TA es invertible, no tiene por qué ser simétrica porque su traspuesta es ABA^-1.

4. g-i

g) |A^T|/|A|=1. h) se obtiene trasponiendo AB+A=A(B+I). i) A² y A³ son invertibles y tienen rango n.

Ampliación paso a paso · apuntes revisados

El nuevo desarrollo manuscrito aporta pruebas intermedias que conviene conservar:

Si A^T A es invertible, entonces det(A)^2≠0; por tanto A es invertible.
De A²=A sólo sale det(A)∈{0,1}; no se puede concluir singularidad porque A=I es contraejemplo.
En los determinantes de productos inversos se usa |M^-1|=1/|M| y |A^T|=|A|.
Si A y B son simétricas e invertibles, A^-1B^TA sí es invertible, pero su traspuesta no coincide en general con la matriz: la simetría necesita condiciones adicionales de conmutación.
Si A es invertible, también lo son A² y A³; por ello sus rangos son n.

Esto separa con claridad las afirmaciones que fallan por falta de invertibilidad de las que fallan por falta de conmutatividad.

Método utilizado

Rango, inversas y Cayley-Hamilton

Resultado final

a F; b V; c F; d V; e V; f F en general; g V; h V; i V.

Interpretación del resultado

El ejercicio reúne varias propiedades estructurales y exige distinguir identidades siempre válidas de las que necesitan conmutatividad o invertibilidad.