Análisis de sensibilidad: interpretación de los multiplicadores de Lagrange
Interpretación de los multiplicadores de Lagrange como sensibilidad del valor óptimo frente a cambios pequeños en los términos de las restricciones.
Cambios pequeños en las restricciones
La tercera página del Tema 6 y 7.1 estudia qué ocurre con el valor óptimo cuando se modifican ligeramente los términos de las restricciones. A partir del problema con hᵢ(x)=bᵢ y gⱼ(x)≤cⱼ se considera un nuevo problema con:
Se supone que Δb y Δc son próximos a cero.
Teorema 5: continuidad local del óptimo y de los multiplicadores
Para un óptimo local que verifica las condiciones de primer orden y las condiciones suficientes de segundo orden mediante el Hessiano orlado, y bajo la condición adicional indicada en el apunte para las restricciones con μⱼ=0, existe un óptimo local del problema perturbado cercano al original, con variables y multiplicadores que dependen de (b+Δb,c+Δc).
En el punto original se recuperan los valores iniciales: a(b,c)=a, λi(b,c)=λi y μj(b,c)=μj.
Interpretación de λ y μ
El resultado central de los apuntes identifica los multiplicadores con la sensibilidad del valor óptimo:
∂F*/∂bi = λi.
∂F*/∂cj = μj.
Los multiplicadores miden cómo cambia aproximadamente el valor óptimo cuando se relaja o endurece ligeramente una restricción.
Estimación a priori del nuevo valor óptimo
Para variaciones pequeñas, el documento obtiene la aproximación:
Conociendo el valor óptimo del problema original, esta expresión permite estimar a priori el valor óptimo del problema perturbado antes de resolverlo completamente.
La página incorpora el planteamiento perturbado, el Teorema 5, la dependencia de a, λ y μ respecto de b y c, las derivadas del valor óptimo y la aproximación lineal completa del documento.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un multiplicador de Lagrange en análisis de sensibilidad?
Según estos apuntes, λᵢ y μⱼ son las derivadas del valor óptimo respecto de los términos bᵢ y cⱼ de las restricciones.
¿Qué es el valor sombra de una restricción?
La interpretación dada aquí coincide con la idea de sensibilidad marginal: cuánto cambia aproximadamente el óptimo al variar ligeramente el límite de una restricción.
¿Para qué sirve la aproximación con Δb y Δc?
Permite estimar el nuevo valor óptimo para cambios pequeños sin resolver todavía todo el problema perturbado.
¿La aproximación es exacta?
El documento la presenta como una aproximación local para variaciones Δb y Δc próximas a cero.
Sensibilidad y globalidad: qué aporta el multiplicador
En el ejemplo de coste C=2x+2y con circunferencia x²+y²=4 y demanda mínima 2x+y≥4, el mínimo global es (2,0). El multiplicador de la restricción activa vale 2 con la convención usada.
si 4→4+Δb, entonces ΔC_min≈2Δb.
Para Δb=0,1, el coste mínimo aumenta aproximadamente 0,2. Es una lectura local del precio sombra; la globalidad del óptimo se justifica aparte con la geometría de la región y la comparación del objetivo.