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Enunciado
Demostrar que si B∈Mₙ(R) es inversible, entonces Q(x)=xᵀBᵀBx es definida positiva.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Demostración
Q(x)=xᵀBᵀBx=(Bx)ᵀ(Bx)=||Bx||².
Si x≠0 y B es inversible, Bx≠0; por tanto ||Bx||²>0. Luego Q es definida positiva.
Método utilizado
Norma euclídea y matriz BᵀB
Resultado final
Q(x)=xᵀBᵀBx es definida positiva si B es inversible.
Interpretación del resultado
BᵀB mide el cuadrado de la norma de Bx. La invertibilidad garantiza que un vector no nulo nunca se transforma en cero.