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Enunciado
Un nuevo impuesto T se relaciona con I (pagos por IRPF) y P (pagos por patrimonio) mediante T=5I²−4IP+2P². El gobierno quiere saber si será siempre recaudatorio (T>0). Estudiar su viabilidad.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Forma matricial
T=[I P] [[5,-2],[-2,2]] [I;P].
2. Criterio de Sylvester
Δ₁=5>0; Δ₂=10−4=6>0.
La forma es definida positiva, así que T>0 para todo vector (I,P) no nulo.
3. Matiz del enunciado
En (I,P)=(0,0) se obtiene T=0. Por ello la afirmación “siempre T>0” sólo es correcta si se excluye el caso en que ambos pagos existentes son cero.
Método utilizado
Matriz simétrica y criterio de Sylvester
Resultado final
La matriz [[5,-2],[-2,2]] es definida positiva (Δ₁=5, Δ₂=6). Por tanto T>0 para todo (I,P)≠(0,0); en el origen T=0.
Interpretación del resultado
El impuesto es estrictamente recaudatorio para cualquier combinación no nula de pagos por IRPF y patrimonio. Si el requisito literal incluye también I=P=0, entonces no es estrictamente positivo en ese único caso trivial.