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Enunciado
Q=4K^{1/2}L^{1/2}, C=2K+8L. Hallar K,L de coste mínimo para Q=32, con K,L>0.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Producción
4√(KL)=32 ⇒ KL=64 ⇒ L=64/K.
2. Coste
C=2K+512/K.
C′=2−512/K²=0 ⇒ K=16; L=4.
Ampliación · contraste entre sustitución y Lagrange
La restricción equivale a KL=64. Por sustitución:
C(K)=2K+512/K, C'(K)=2-512/K²=0 ⇒ K=16, L=64/16=4.
También con Lagrange, ∇C=λ∇(4√(KL)); al dividir las dos ecuaciones de primer orden resulta K=4L, que junto con KL=64 da el mismo punto. Como C(K)→∞ cuando K→0⁺ o K→∞, el mínimo es global.
Método utilizado
Lagrange / sustitución
Resultado final
K=16, L=4; coste mínimo C=64.
Interpretación del resultado
La combinación óptima sustituye factor caro por factor barato hasta igualar la tasa marginal de sustitución técnica con la relación de precios.