✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Maximizar U(x,y)=x^(1/3)y^(1/2) sujeto a 2x+3y=M, x≥0, y≥0, con M>0. Resolver y justificar la globalidad.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. El óptimo es interior
Si M>0, cualquier punto con x=0 o y=0 da utilidad 0, mientras que existen puntos factibles con ambos bienes positivos y utilidad positiva. Buscamos, por tanto, el candidato interior.
2. Lagrangiana
L=x^(1/3)y^(1/2)+λ(M-2x-3y).
Las condiciones de primer orden son:
(1/3)x^(-2/3)y^(1/2)=2λ (1/2)x^(1/3)y^(-1/2)=3λ 2x+3y=M.
3. Relación entre x e y
Dividiendo las dos primeras ecuaciones:
[(1/3)x^(-2/3)y^(1/2)] / [(1/2)x^(1/3)y^(-1/2)] = 2/3 (2/3)(y/x)=2/3 ⇒ y=x.
La restricción da:
2x+3x=5x=M ⇒ x*=M/5, y*=M/5.
4. Utilidad máxima
U*=(M/5)^(1/3)(M/5)^(1/2)=(M/5)^(5/6).
5. Comprobación de globalidad
En el cuadrante positivo, ln U=(1/3)ln x+(1/2)ln y es estrictamente cóncava y la restricción presupuestaria es lineal. Por tanto el candidato interior es el máximo global único. En las fronteras x=0 o y=0 la utilidad es 0.
Método utilizado
Lagrange/KKT y utilidad Cobb-Douglas
Resultado final
Para M>0, el máximo global es x*=M/5, y*=M/5 y U*=(M/5)^(5/6).
Interpretación del resultado
En el óptimo se destina 2/5 de la renta al gasto en x y 3/5 al gasto en y. Las participaciones coinciden con los exponentes normalizados de la utilidad Cobb-Douglas.