✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
x(t,A)=200(5−e^(−0,002A))(1−e^(−t)). Calcular ∂x/∂t y ∂x/∂A, evaluarlas en t=1,A=400 e interpretar.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Derivar
x_t=200(5−e^(−0,002A))e^(−t). x_A=0,4e^(−0,002A)(1−e^(−t)).
Evaluar
t=1,A=400 ⇒ x_t≈334,8197; x_A≈0,113612.
Ampliación · sustitución numérica e interpretación marginal
x_t(1,400)=200(5-e^-0.8)e^-1 ≈ 334.8197 x_A(1,400)=0.4e^-0.8(1-e^-1) ≈ 0.113612.
La primera cifra es una tasa local respecto al tiempo manteniendo la publicidad fija; la segunda es una tasa local respecto a la publicidad manteniendo fijo el tiempo. No son incrementos exactos para variaciones grandes.
Método utilizado
Derivadas parciales marginales
Resultado final
x_t=200(5−e^(−0,002A))e^(−t)≈334,820 en (1,400). x_A=0,4e^(−0,002A)(1−e^(−t))≈0,113612.
Interpretación del resultado
En ese punto, un mes adicional aumenta localmente las ventas en unas 334,82 unidades (según las unidades del modelo) manteniendo publicidad constante; una unidad monetaria adicional de publicidad aporta unas 0,114 unidades, manteniendo el tiempo.