✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
B(p,q,t)=1000e^{0,1t}(10p−2q), con p=1,q=2,t=0. a) Hallar B_t. b) Si p=p(q,t), p_q(2,0)=0,1 y p_t(2,0)=0,2, estudiar cómo cambia la previsión.
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Desarrollo paso a paso
Parciales de B
B_t=100e^{0,1t}(10p−2q); B_p=10.000e^{0,1t}; B_q=−2.000e^{0,1t}.
En (p,q,t)=(1,2,0)
B_t=600; B_p=10.000; B_q=−2.000.
Con p=p(q,t)
dB/dt=B_t+B_p(p_t+p_q q′)+B_q q′ =600+10.000(0,2)+(10.000·0,1−2.000)q′ =2.600−1.000q′.
Si q permanece constante, q′=0 y la tasa es 2.600.
Método utilizado
Regla de la cadena con variable endógena
Resultado final
B_t=600 en el punto actual. Manteniendo q=2, el ajuste temporal del precio añade B_p p_t=10.000·0,2=2.000, por lo que dB/dt=2.600 u.m./año. Si q también varía, falta q′(t) y el resultado general es 2.600−1.000 q′(t).
Interpretación del resultado
El ejercicio muestra que una previsión basada solo en la derivada parcial puede cambiar mucho cuando el precio de venta responde endógenamente al tiempo y al coste de la materia prima.