✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
a) y=2x⁴, x=6−t³: calcular dy/dt en t=1. b) z=x²y−y², x=sen t,y=e^t: dz/dt en t=0. c) z=e^{xy}, x=3t+2u,y=4t−2u: z_t y z_u en t=1,u=0.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
a)
dy/dt=8x³·(−3t²)=−24t²(6−t³)³ ⇒ t=1: −3000.
b)
z_x=2xy, z_y=x²−2y; x′=cost, y′=e^t. En t=0: x=0,y=1 ⇒ dz/dt=−2.
c)
z_t=e^{xy}(3y+4x); z_u=e^{xy}(2y−2x).
En (t,u)=(1,0): x=3,y=4 ⇒ 24e¹² y 2e¹².
Método utilizado
Cadena de una y varias variables
Resultado final
a) −3000. b) −2. c) z_t=24e¹² y z_u=2e¹².
Interpretación del resultado
La regla de la cadena pondera cada sensibilidad interna por la velocidad con la que cambia su variable intermedia.