✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
z=f(u,v), u=x²+y, v=y−x². Hallar dz en x=1,y=1 sabiendo f_u(2,0)=3 y f_v(2,0)=−1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Diferenciales internas
du=2x dx+dy ⇒ en (1,1): 2dx+dy. dv=dy−2x dx ⇒ dy−2dx.
Combinar
dz=f_u du+f_v dv=3(2dx+dy)−(dy−2dx)=8dx+2dy.
Ampliación · evaluar primero las variables intermedias
u(1,1)=2, v(1,1)=0, du=2dx+dy, dv=-2dx+dy. dz=3du-1·dv=8dx+2dy.
La clave es usar f_u(2,0)=3 y f_v(2,0)=-1, porque las derivadas de f se evalúan en el punto de las variables intermedias, no directamente en (x,y).
Método utilizado
Cadena diferencial
Resultado final
dz=8dx+2dy.
Interpretación del resultado
Los datos de f sólo son necesarios en el punto intermedio (u,v)=(2,0); no hace falta conocer la fórmula completa de f.