Enunciado
z está definida implícitamente por x²+y²+3z²−2x+2z=0. Calcular parciales de primer orden en (x,y)=(1,1).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Resolver z en (1,1)
1+1+3z²−2+2z=0 ⇒ z(3z+2)=0 ⇒ z=0 o z=−2/3.
Parciales generales
z_x=−(2x−2)/(6z+2); z_y=−2y/(6z+2).
Evaluar
z=0: (z_x,z_y)=(0,−1). z=−2/3: (z_x,z_y)=(0,1).
Ampliación · la ecuación no selecciona una sola rama
Al fijar (x,y)=(1,1) aparecen dos valores compatibles:
3z²+2z=0 ⇒ z=0 o z=-2/3.
Por eso no es correcto dar unas únicas parciales sin indicar la rama. En ambas F_z=6z+2≠0, así que el teorema de la función implícita sí puede aplicarse localmente y produce las dos parejas de derivadas mostradas arriba.
Método utilizado
Derivación implícita con ramas múltiples
Resultado final
En (1,1) la ecuación admite z=0 y z=−2/3. En ambas z_x=0. Para la rama z=0, z_y=−1; para la rama z=−2/3, z_y=+1.
Interpretación del resultado
El enunciado no especifica cuál de las dos ramas z(1,1) debe usarse; por eso la respuesta correcta debe declarar ambas posibilidades.