✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar homogeneidad de: a) x/y². b) x²/y+x+y²/(x+y). c) 3e^x+3e^y. d) 6ln(3^(−2x))−ln(4^(−5y)). e) x^a f(y/x). f) x^m f(y/x)+x^n g(x/y).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Escalado
a) f(tx,ty)=t^(−1)f(x,y). b) cada término escala como t¹. c) e^(tx) no factoriza como potencia fija de t. d) los logaritmos se reducen a una combinación lineal en x,y ⇒ grado 1. e) (tx)^a f(ty/tx)=t^a f. f) suma de grados m y n: requiere m=n para factor común en el caso general.
Método utilizado
Escalado y Teorema de Euler
Resultado final
a) grado −1. b) grado 1. c) no homogénea. d) grado 1. e) grado a. f) en general sólo es homogénea si m=n (grado m), salvo casos especiales/cancelaciones.
Interpretación del resultado
La prueba más directa consiste en sustituir (x,y) por (tx,ty) y factorizar la potencia común de t; Euler sirve después como verificación diferencial.