✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Estudiar y resolver, según a: x+3y−az=4; ax+y+az=0; −x+2ay=a+2; 2x−y−2z=0.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Condición de compatibilidad
El determinante de la matriz ampliada 4×4 factoriza como:
det(A*)=−(a−2)(a²−13a+6).
Luego sólo pueden ser compatibles:
a=2, a=(13+√145)/2, a=(13−√145)/2.
2. Resolver cada caso
Para a=2:
(x,y,z)=(0,1,−1/2).
Si a²−13a+6=0, la solución puede escribirse de forma común para cualquiera de sus dos raíces:
x=(3a−34)/29 y=(42−2a)/29 z=(4a−55)/29
3. Resto de valores
La matriz ampliada tiene rango 4 y la de coeficientes como máximo 3, por lo que el sistema es incompatible.
Método utilizado
Rouché-Frobenius y determinantes de la matriz ampliada
Resultado final
Compatible sólo para a=2 o para las dos raíces de a²−13a+6=0. Para el resto de a no existe solución.
Interpretación del resultado
Al haber cuatro ecuaciones para tres incógnitas, la coherencia obliga al parámetro a a tomar uno de tres valores concretos. En cada valor compatible el rango es 3 y la solución es única.