✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
(a) x+y+z=1; ax+y+z=2; ax+by+z=b−a+1; (a+2)x+(b+2)y+4z=b−a+4.
(b) x+ay+z=0; x+y+az=0; ax+y+z=b+1; (a+1)x+2y+(a+1)z=b+1.
(b) x+ay+z=0; x+y+az=0; ax+y+z=b+1; (a+1)x+2y+(a+1)z=b+1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Parte (a)
La condición de compatibilidad obtenida de la matriz ampliada es:
a(a−b)=0.
Al revisar los rangos:
- a=0, cualquier b: solución única
(−1,1,1). - b=a, a≠1: solución única
(1/(a−1), −1/(a−1), 1). - a=b=1: incompatible.
- Fuera de esos casos: incompatible.
Parte (b)
Las tres primeras ecuaciones tienen determinante:
(a−1)²(a+2).
Si a≠1,−2, la solución única es:
x=(a+1)(b+1)/(a²+a−2) y=−(b+1)/(a²+a−2) z=−(b+1)/(a²+a−2)
Casos singulares:
- a=1, b=−1:
x+y+z=0, dos parámetros libres. - a=−2, b=−1:
x=y=z=λ. - Si a=1 o a=−2 y b≠−1: incompatible.
Método utilizado
Rouché-Frobenius y discusión por casos
Resultado final
(a) Compatible si a=0 (cualquier b) o si b=a con a≠1; en los demás casos es incompatible. (b) Para a≠1,−2 hay solución única; para a=1 o −2 sólo es compatible si b=−1.
Interpretación del resultado
Ambos sistemas muestran que anular un determinante no basta para decidir: hay que comparar los rangos de A y A*. Los parámetros pueden convertir un sistema singular en compatible indeterminado o en incompatible.