Rendimientos a escala: funciones de producción homogéneas y grado de homogeneidad
Cómo usar el grado de homogeneidad de una función de producción para distinguir rendimientos crecientes, decrecientes y constantes a escala.
Homogeneidad y rendimientos a escala
La homogeneidad permite estudiar cómo cambia la producción cuando todos los factores productivos se modifican en la misma proporción. Si Q=Q(K,L), K representa capital y L mano de obra.
Caso homogéneo de grado 1
El material presenta primero el caso en que al multiplicar K y L por t la producción también queda multiplicada por t:
Entonces Q es homogénea de grado 1 y, por Euler:
Los apuntes interpretan esta igualdad como una descomposición de la producción total:
- Aportación del capital: KQK(K,L).
- Aportación de la mano de obra: LQL(K,L).
Es decir, cada aportación se obtiene multiplicando la cantidad del factor por su productividad marginal.
Función de producción homogénea de grado m
Para una función de producción homogénea de grado m>0:
y el Teorema de Euler da:
El grado m mide cómo responde proporcionalmente la producción cuando todos los factores cambian en la misma proporción.
Rendimientos crecientes, decrecientes y constantes a escala
Si los factores aumentan o disminuyen en una proporción, la producción varía en una proporción mayor que los factores.
La producción varía en una proporción menor que los factores productivos.
La producción cambia en la misma proporción que los factores productivos.
Preguntas frecuentes
¿Qué mide el grado de homogeneidad de una función de producción?
Cómo cambia proporcionalmente la producción cuando todos los factores se multiplican por el mismo factor t.
¿Qué significa m mayor que 1?
Rendimientos crecientes a escala: la producción cambia en mayor proporción que los factores.
¿Qué significa m igual a 1?
Rendimientos constantes a escala: producción y factores cambian en la misma proporción.
¿Qué representa KQK+LQL en el caso de grado 1?
La suma de las aportaciones del capital y del trabajo, calculadas como cantidad del factor por su productividad marginal.
CES y Cobb-Douglas: escalado directo
En la CES Q=(ax^{-c}+by^{-c})^{-1/c}, sustituir (tx,ty) extrae un factor t^{-c} dentro del paréntesis y termina dando Q(tx,ty)=tQ(x,y): grado 1 y rendimientos constantes.
En Cobb-Douglas el grado es α+β. Por eso α+β>1, =1 o <1 clasifica respectivamente rendimientos crecientes, constantes o decrecientes.