Teorema de Euler para funciones homogéneas: fórmula, elasticidades y consecuencias
Teorema de Euler para funciones homogéneas de dos y n variables, identidad de segundo orden, suma de elasticidades e interpretación económica.
Teorema de Euler en dos variables
Sea z=f(x,y) con derivadas parciales continuas. El tema establece la equivalencia:
Esta identidad permite reconocer y explotar la homogeneidad utilizando derivadas parciales.
Teorema de Euler en n variables
Para f(x₁,…,xₙ) con derivadas parciales continuas:
La identidad de Euler permite simplificar expresiones en las que aparecen derivadas parciales sin necesidad de calcularlas una a una.
Consecuencia con derivadas de segundo orden
Si f(x,y) es homogénea de grado m y tiene derivadas parciales continuas hasta orden 2:
Suma de elasticidades y grado de homogeneidad
Dividiendo la identidad de Euler por f(x,y), cuando f(x,y)≠0, se obtiene:
Los dos términos son las elasticidades parciales de f respecto de x e y. Por tanto, según los apuntes:
La suma de las elasticidades de una función homogénea respecto de sus variables coincide con su grado de homogeneidad.
Aplicación a funciones de demanda
El material señala que las funciones de demanda son homogéneas de grado 0 en precios y renta. En consecuencia, la suma de sus elasticidades es:
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve el Teorema de Euler?
Relaciona el grado de homogeneidad con las derivadas parciales y permite simplificar expresiones sin calcular cada derivada de forma aislada.
¿Qué suma dan las elasticidades de una función homogénea de grado m?
m, siempre que se apliquen las elasticidades parciales que aparecen en la identidad de Euler.
¿Qué ocurre en una función homogénea de grado 0?
La suma de esas elasticidades es 0.
¿El tema incluye una identidad de segundo orden?
Sí: x²fxx+2xyfxy+y²fyy=m(m−1)f para funciones homogéneas suficientemente regulares.
Euler y suma de elasticidades en Cobb-Douglas
Q=AK^αL^β\nKQ_K+LQ_L=(α+β)Q\nε_K+ε_L=α+β.
El escaneo conecta de forma explícita el grado de homogeneidad con las elasticidades de producción. La igualdad es una consecuencia de Euler para funciones homogéneas diferenciables, no una identidad válida para cualquier función.
Euler verificado en una función racional homogénea
Para g(x,y)=x²+y³/x, cada término tiene grado 2. Derivando:
g_x=2x−y³/x²\ng_y=3y²/x\n\nx g_x+y g_y\n=2x²−y³/x+3y³/x\n=2x²+2y³/x\n=2g(x,y).
La identidad confirma exactamente el Teorema de Euler para grado 2 y sirve a la vez como comprobación de las derivadas parciales.