Derivadas parciales: definición, interpretación y Teorema de Schwarz
Definición y cálculo de derivadas parciales, interpretación geométrica y económica, derivadas sucesivas y Teorema de Schwarz.
Definición de derivada parcial
Para f:D⊂ℝ²→ℝ y (a,b)∈D, la derivada parcial respecto de x se define dejando y fijada en b y haciendo variar x:
De forma análoga:
Cómo se calculan
El material define las funciones derivadas parciales fx y fy y resume la regla práctica: se deriva respecto de la variable correspondiente considerando la otra variable constante.
La definición se generaliza a f:D⊂ℝⁿ→ℝ: la parcial respecto de xᵢ se obtiene variando únicamente xᵢ y manteniendo fijas las restantes coordenadas.
Interpretación geométrica y económica
fx(a,b) es la pendiente de la recta tangente a la superficie z=f(x,y) en la dirección del eje X. Para y se interpreta de forma análoga.
fx(a,b) aproxima el incremento de f ante un incremento unitario de x desde x=a, manteniendo y=b constante; fy hace lo mismo intercambiando las variables.
En una variable, ser derivable en un punto implica continuidad. En varias variables, la mera existencia de derivadas parciales no garantiza en general continuidad.
Derivadas parciales sucesivas
El tema define derivadas de segundo orden:
y extiende la misma idea a derivadas de tercer y mayor orden, derivando sucesivamente respecto de las variables indicadas.
Teorema de Schwarz
El documento lo presenta como Teorema de “Schwartz”. Bajo las hipótesis indicadas —continuidad de las derivadas parciales primeras y mixtas consideradas— concluye que las derivadas mixtas coinciden:
Preguntas frecuentes
¿Qué se mantiene constante al calcular una derivada parcial?
Todas las variables salvo aquella respecto de la que se deriva.
¿Qué significa económicamente una derivada parcial?
Aproxima el cambio de la función ante un aumento unitario de una variable, manteniendo las demás constantes.
¿Cuándo coinciden fxy y fyx?
Bajo las condiciones de continuidad recogidas en el Teorema de Schwarz del material.
Continúa con el grado de homogeneidad, el Teorema de Euler y su aplicación a elasticidades y rendimientos a escala. Abrir Tema 3 →