Diferencial y diferenciabilidad en varias variables
Incremento, aproximación lineal, diferencial total, diferencial de segundo orden y relaciones entre continuidad, derivabilidad parcial y diferenciabilidad.
Recordatorio en una variable
Los apuntes parten de la aproximación lineal de una función diferenciable:
La diferencial es df(a)=f′(a)dx y permite aproximar la función por su recta tangente cerca de a.
Diferenciabilidad en dos variables
De forma intuitiva, f es diferenciable en (a,b) si es derivable parcialmente y, para incrementos pequeños, puede aproximarse mediante:
Como Δx=x-a y Δy=y-b, la misma aproximación puede escribirse sustituyendo directamente esos incrementos.
Diferencial total
La diferencial recoge la variación lineal aproximada cuando cambian simultáneamente x e y.
Diferencial de segundo orden y diferenciales sucesivas
Si existen las derivadas de segundo orden y las parciales primeras son diferenciables, el tema define:
De manera análoga, la diferencial de orden q se obtiene aplicando de nuevo el operador diferencial a la diferencial de orden q−1.
Continuidad, derivabilidad parcial y diferenciabilidad
- Si f es diferenciable en (a,b), entonces es continua en (a,b).
- Si f es continua en (a,b) y sus derivadas parciales existen y son continuas en ese punto, entonces f es diferenciable en (a,b).
Preguntas frecuentes
¿Para qué sirve la diferencial total?
Para aproximar el cambio de f cuando x e y varían una pequeña cantidad alrededor de un punto.
¿Ser diferenciable implica ser continua?
Sí, según la relación recogida en los apuntes.
¿Tener derivadas parciales implica ser diferenciable?
No por sí solo. El tema añade condiciones de continuidad para obtener una condición suficiente de diferenciabilidad.