41 ejercicios de funciones de una variable resueltos
Funciones, límites, continuidad, derivadas, Taylor, funciones inversas, marginalidad, elasticidad y aplicaciones económicas resueltas paso a paso.
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Ejercicio 1: Coste total y coste de la décima unidad
C(q)=q³−30q²+500q+200. a) Calcular el coste de producir 10 unidades. b) Calcular el coste de producir específicamente la décima unidad.
Ejercicio 2: Composición por sustitución: calcular f(x−1)
Dada f(x)=3x²+1/x+5, hallar f(x−1).
Ejercicio 3: Monóxido de carbono como función del tiempo
C(p)=0,5p+1 partes por millón y p(t)=10+0,1t² miles de habitantes. a) Expresar C como función de t. b) Hallar cuándo C=6,8.
Ejercicio 4: Intersecciones de una recta y una parábola
Hallar los puntos de intersección de f(x)=3x+2 y g(x)=x².
Ejercicio 5: Precio de radios que maximiza el beneficio mensual
Coste unitario 10 $. Si el precio es x dólares, la demanda mensual es 80−x radios. Expresar el beneficio, representarlo, hallar el precio que lo maximiza e interpretar los cortes con los ejes.
Ejercicio 6: Equilibrio de mercado en tres modelos lineales
Hallar precio y cantidad de equilibrio (Qs=Qd): a) Qs=−20+3p, Qd=220−5p. b) Qs=−45+8p, Qd=125−2p. c) Qs+32−7p=0, Qd−128+9p=0.
Ejercicio 7: Coste de un banquete mediante una función a trozos
Un club cobra 15 $ por cada uno de los primeros 100 huéspedes y 20 $ por cada huésped adicional. Expresar el coste en función del número n de huéspedes.
Ejercicio 8: Nueve límites básicos y con indeterminaciones
Calcular: a) lim x→∞ (3x⁴−x³)/(5x⁴−x²). b) lim x→2 [(x−2)³+3(x−2)]/[5(x−2)⁶−5(x−2)⁵]. c) lim x→∞ x⁵/(x²+2x+1). d) lim x→∞ (x⁴+x²)/(eˣ+1). e) lim x→0 e^(−1/x). f) lim x→∞ x ln(1+1/x). g) lim x→0⁺ x(ln x−1). h) lim x→0 f(x), f=|x| si x≤0 y x³+1 si x>0. i) lim x→0 |x|/x.
Ejercicio 9: Continuidad y clasificación de discontinuidades
Estudiar la continuidad de: a) (x²−9)/(x²−2x−3). b) E[x] (parte entera). c) f(x)=sen x si x≥0; x² si −1≤x<0; −2x−1 si x<−1. d) ln(x²−3x+2).
Ejercicio 10: Continuidad y derivabilidad de una demanda a trozos
Revisión documental
D(t)=0 para t=0; D(t)=at²+bt+c para 0<t<3; D(t)=9e^{−(t−3)²/2} para t≥3. a) Hallar a,b,c para que D sea continua en [0,+∞). b) Estudiar la derivabilidad de la función resultante.
Ejercicio 11: Derivadas de primer y segundo orden: batería de 16 funciones
Calcular y′ e y″ para las 16 funciones del ejercicio: constantes, polinomios, exponenciales, logaritmos, productos y cocientes.
Ejercicio 12: Derivadas en x=0 y x=1 e interpretación geométrica
Calcular la derivada en x=0 y x=1 e interpretar: a) y=2x+1. b) y=x². c) y=x³−2x²+x.
Ejercicio 13: Demostrar que un polinomio es creciente
Probar que y=3x³−6x²+4x es creciente para todo x∈ℝ−{2/3}.
Ejercicio 14: Ajustar una función a trozos para que sea continua y derivable
y(x)=ax+b si x≤0 y y(x)=sen x/x si x>0. Hallar a,b para que sea continua y derivable.
Ejercicio 15: Representación gráfica de nueve funciones elementales
Representar: a) 5x−3. b) x²−x. c) ln x. d) 3x/(2−x). e) x/(x²+1). f) |x²−2|. g) eˣ(x−2). h) eˣ/(1+eˣ). i) x³/(1+x)².
Ejercicio 16: Gráfica y propiedades de e^(−x²/2)
Representar gráficamente y=e^(−x²/2) y señalar sus propiedades importantes.
Ejercicio 17: Circunferencia y prueba de función
Dibujar (x−2)²+y²=9. ¿Representa la ecuación una función y=f(x)? ¿Por qué?
Ejercicio 18: Determinar el parámetro de x−a/x para imponer un extremo
Sea f(x)=x−a/x. Hallar a para que: a) f tenga un mínimo en x=2. b) f tenga un máximo en x=−1.
Ejercicio 19: Parábola con máximo prescrito
Hallar a,b en y=ax²+bx para que pase por (0,0) y tenga un máximo en (5,25).
Ejercicio 20: Taylor de √x alrededor de 100 y aproximación de √101
Obtener Taylor hasta orden 4 de y=√x en x=100 y usarlo para aproximar √101.
Ejercicio 21: Series de Maclaurin de sen x, ln(1+x) y eˣ
Escribir los desarrollos de Taylor en x=0 de sen x, ln(1+x) y eˣ; usarlos para aproximar sen(0,5), ln(1,2) y e^0,1.
Ejercicio 22: Serie de Taylor de sen x alrededor de π/2
Expresar el desarrollo de Taylor de sen x en el entorno de x=π/2.
Ejercicio 23: Demostrar que una curva de oferta es creciente
y=a+b√(x−c), con a,b,c>0. Demostrar que la curva de suministro es creciente para x>c y trazarla para x≥c.
Ejercicio 24: Demostrar que el coste medio es decreciente
C(x)=√(ax+b), a,b>0. Demostrar que CMe(x)=C(x)/x decrece para x>0 y describir su gráfica.
Ejercicio 25: Demanda marginal por cociente incremental y por derivada
Q(2)=25 y Q(2,1)=22,67. a) Aproximar ΔQ/Δp desde p=2. b) Si Q(p)=100/p², hallar Q′(p), Q′(2) y comparar.
Ejercicio 26: Ingreso marginal cero en alquiler de departamentos
p(x)=5√(400,5−3x), donde x es el número de departamentos alquilados. Hallar x para el que el ingreso marginal sea cero.
Ejercicio 27: Ingresos marginales en modelos de algodón y mantequilla
Modelos precio-demanda: algodón p x^1,4=0,11; mantequilla x p^1,2=38. Hallar los ingresos marginales.
Ejercicio 28: Coste medio, coste marginal y su intersección
C(x)=x²/2−2x+5. a) Coste medio. b) Coste marginal. c) ¿Siempre aumenta el coste al aumentar la producción? d) ¿Dónde se cortan coste medio y marginal?
Ejercicio 29: Precio-demanda e ingreso marginal a partir del ingreso total
I(x)=3+5√(x−1), 2≤x≤26. a) Hallar precio-demanda. b) Ingreso marginal. c) Producción que maximiza ingresos y precio correspondiente.
Ejercicio 30: Ingreso total y marginal cuando x es el 1% de la demanda
x²+p²=100 y la demanda real es q=100x. a) Hallar ingreso total. b) Hallar ingreso marginal.
Ejercicio 31: Elasticidad de demanda en dos funciones
Calcular la elasticidad para p=5: a) q=110−2p−3p². b) q=10/p³.
Ejercicio 32: Elasticidad aproximada y exacta de una demanda
y=√((20−x)/2), 0≤x≤20. En (x,y)=(12,2), el precio baja un 6%. Hallar el incremento de la cantidad demandada, una elasticidad aproximada y compararla con la exacta.
Ejercicio 33: Elasticidad cruzada de margarina respecto al precio de mantequilla
q=5+2√p, q en cientos de kg de margarina y p precio de la mantequilla. Sin derivar, calcular la elasticidad cuando p pasa de 0,81 a 1,00.
Ejercicio 34: Viviendas construidas según la evolución de la tasa de interés
N(r)=50/(100+r²), con r(t)=12−8t/(t+24). Expresar N como función de t y calcular N(6).
Ejercicio 35: Ingreso mensual como función de la cantidad demandada
La demanda satisface x=2000−15p y el ingreso es I=2000p−15p². Expresar I como función de x.
Ejercicio 36: Comprobar dos funciones inversas y su simetría gráfica
f(x)=−x²+3 para x≥0 y g(x)=√(3−x) para x≤3. Determinar si son inversas y describir la propiedad gráfica.
Ejercicio 37: Inversa global de un polinomio de grado siete y derivada de la inversa
f(x)=x⁷+5x⁵+2x−2. Estudiar si tiene inversa global, si puede despejarse explícitamente x=g(y), y calcular g′(−2).
Ejercicio 38: Dominio y comportamiento de una demanda en función de la renta
D(r)=(1−20/r)·ln²(10−200/r). Hallar el dominio, estudiar su comportamiento para rentas ilimitadamente grandes y esbozar la gráfica.
Ejercicio 39: Precio óptimo de lanzamiento con demanda inversamente cuadrática
D(p)=1.000.000/p². El coste unitario es 20 € y el coste fijo 2.000 €. Obtener el beneficio, los precios de equilibrio (beneficio cero) y el precio que maximiza el beneficio.
Ejercicio 40: Demanda q=2000/p³: ingreso, ingreso marginal y elasticidad
q(p)=2000/p³. Estudiar monotonicidad de la demanda; obtener ingreso total, medio y marginal; evaluar en p=10, representar las funciones y calcular la elasticidad puntual.
Ejercicio 41: Paridad de funciones: comprobar una función par y una impar
Clasificar por su paridad las funciones g(x)=x⁴−3 y u(x)=3x³+x, justificando el resultado mediante g(−x) y u(−x).