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Enunciado
Obtener Taylor hasta orden 4 de y=√x en x=100 y usarlo para aproximar √101.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Polinomio
T₄(x)=10+(x−100)/20−(x−100)²/8000+(x−100)³/1600000−(x−100)⁴/256000000.
Evaluación
T₄(101)=10,04987562109375. √101≈10,04987562112089.
Ampliación del apunte: cuándo Taylor reproduce exactamente la función
El resumen usa el polinomio f(x)=2x²+3x−1 centrado en a=1:
f(1)=4 f′(x)=4x+3 ⇒ f′(1)=7 f″(x)=4
El Taylor de orden 2 es:
T₂(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f″(1)(x−1)²/2 =4+7(x−1)+2(x−1)² =2x²+3x−1=f(x)
No es una casualidad: para un polinomio de grado 2, el Taylor de orden 2 reproduce exactamente el polinomio en todo x; no queda término de error porque las derivadas de orden 3 y superiores son nulas.
Método utilizado
Polinomio de Taylor de orden 4
Resultado final
√x≈10+(x−100)/20−(x−100)²/8000+(x−100)³/1600000−(x−100)⁴/256000000. Para x=101: 10,0498756211.
Interpretación del resultado
La aproximación coincide con la calculadora en muchos decimales porque 101 está muy cerca del centro 100. En un polinomio de grado 2, Taylor de orden 2 no aproxima: reproduce exactamente la función.