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Enunciado
Hallar a,b en y=ax²+bx para que pase por (0,0) y tenga un máximo en (5,25).
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Condición de estacionariedad
y′=2ax+b; y′(5)=0 ⇒ 10a+b=0.
Paso por el máximo
25=25a+5b ⇒ 5a+b=5.
Resolver
a=−1, b=10.
Ampliación del apunte: fórmula general del vértice
Para una parábola f(x)=ax²+bx+c con a≠0, el vértice se localiza haciendo f′(x)=0:
f′(x)=2ax+b 2ax+b=0 xᵥ=−b/(2a)
La ordenada es yᵥ=f(xᵥ). Si a<0 la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo; si a>0 abre hacia arriba y es un mínimo.
Aplicación al ejercicio
y=ax²+bx, vértice=(5,25) −b/(2a)=5 ⇒ 10a+b=0 25a+5b=25 ⇒ 5a+b=5 a=−1, b=10
La comprobación a=−1<0 confirma que el extremo prescrito es efectivamente un máximo.
Método utilizado
Condición de vértice de una parábola
Resultado final
a=−1, b=10; y=−x²+10x.
Interpretación del resultado
El coeficiente a<0 confirma que la parábola abre hacia abajo y el vértice (5,25) es un máximo. La fórmula xᵥ=−b/(2a) resume el mismo cálculo de estacionariedad para cualquier parábola.