✓ Solución revisada y verificada
Enunciado
Escribir los desarrollos de Taylor en x=0 de sen x, ln(1+x) y eˣ; usarlos para aproximar sen(0,5), ln(1,2) y e^0,1.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
Series
sen x=x−x³/3!+x⁵/5!−… ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−x⁴/4+… (|x|<1) eˣ=1+x+x²/2!+x³/3!+…
Aproximaciones
sen(0,5)≈0,4794255 ln(1,2)=ln(1+0,2)≈0,1823216 e^0,1≈1,1051709
Revisión del desarrollo manuscrito de Maclaurin
La tabla de derivadas del escaneo es útil para reconstruir los coeficientes, pero en la línea final hay pequeños fallos de transcripción de potencias/signos. La serie publicada se mantiene con la forma matemática correcta:
sen x = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + … ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …, |x|<1 eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
En sen x sólo aparecen potencias impares y los signos alternan. En ln(1+x) aparecen todas las potencias positivas y también alternan los signos. Esas dos reglas sirven como control rápido frente a errores al copiar la serie.
Método utilizado
Series de Maclaurin
Resultado final
sen0,5≈0,4794255; ln1,2≈0,1823216; e^0,1≈1,1051709 usando suficientes términos.
Interpretación del resultado
Las series permiten convertir funciones trascendentes en polinomios locales con precisión controlable aumentando el número de términos.