Derivada por definición, derivada de la inversa y Taylor
Cociente incremental, monotonía, derivada de la función inversa y polinomio de Taylor de segundo orden con ejemplos completos.
Se conserva el detalle de los apuntes manuscritos, pero cada fórmula y conclusión se ha revisado antes de publicarla. Cuando el apunte contiene una anotación incorrecta o incompleta, se señala expresamente y se muestra el razonamiento correcto.
Derivada a partir de la definición
La derivada mide la tasa de cambio instantánea y se define mediante el límite del cociente incremental:
f′(x)=lim h→0 [f(x+h)−f(x)]/h
Ejemplo del apunte: B(x)=2x+3
B′(x)=lim h→0 [2(x+h)+3−(2x+3)]/h
=lim h→0 2h/h
=2
La pendiente es constante: cualquier incremento Δx produce un cambio 2Δx en la función.
Derivada y monotonía
f′(x)>0 ⇒ f crece localmente
f′(x)<0 ⇒ f decrece localmente
El resumen usa x³ para recordar un matiz: f′(0)=0, pero x³ sigue siendo estrictamente creciente en todo ℝ. Una derivada nula en un punto aislado no impide la monotonía global.
Derivada de la función inversa
Si f es invertible, y₀=f(x₀) y f′(x₀)≠0:
(f⁻¹)′(y₀)=1/f′(x₀)=1/f′(f⁻¹(y₀))
La fórmula exige f′(x₀)≠0. f(x)=x³ tiene inversa global, pero en x₀=0 se tiene f′(0)=0 y la inversa ∛y no posee derivada finita en y=0.
Ejemplo completo: f(x)=2e^(−x)+1
f′(x)=−2e^(−x)<0 ⇒ f es estrictamente decreciente
Im f=(1,+∞)
y=2e^(−x)+1
(y−1)/2=e^(−x)
x=−ln((y−1)/2)=ln(2/(y−1))
f⁻¹(y)=ln(2/(y−1)), y>1
(f⁻¹)′(y)=−1/(y−1)
El signo negativo de la derivada de la inversa concuerda con la monotonía decreciente.
Taylor de segundo orden
Alrededor de x=a:
T₂(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)(x−a)²/2
Ejemplo del apunte
f(x)=2x²+3x−1, a=1
f(1)=4
f′(x)=4x+3 ⇒ f′(1)=7
f″(x)=4
T₂(x)=4+7(x−1)+2(x−1)²
=2x²+3x−1=f(x)
Como la función original ya es un polinomio de grado 2, el Taylor de orden 2 la reproduce exactamente: las derivadas de orden 3 y superior son cero.
Preguntas frecuentes
¿Qué representa el cociente incremental?
La pendiente media entre dos puntos separados por h. Al hacer h→0 se obtiene la tasa de cambio instantánea.
¿La fórmula de la derivada de la inversa vale si f′=0?
No. La fórmula 1/f′ requiere una derivada no nula en el punto correspondiente.
¿Por qué x³ puede ser estrictamente creciente si f′(0)=0?
Porque la derivada sólo se anula en un punto aislado y la función mantiene el orden x₁<x₂ ⇒ x₁³<x₂³.
¿Cuándo Taylor de orden 2 es exacto?
Para cualquier polinomio de grado como máximo 2, porque no hay términos de orden superior.
Derivada de la inversa y control de series
Si y₀=f(x₀), f es invertible localmente y f′(x₀)≠0, entonces:
(f⁻¹)′(y₀)=1/f′(x₀).
El escaneo propone f(x)=x³+x+tan x. Como f(0)=0 y f′(0)=3·0²+1+sec²0=2, se obtiene (f⁻¹)′(0)=1/2.
También conviene usar la estructura de las series como comprobación de copia:
sen x=x−x³/3!+x⁵/5!−x⁷/7!+…\nln(1+x)=x−x²/2+x³/3−x⁴/4+…
En seno sólo hay potencias impares; en ln(1+x) los signos alternan. Estas pautas permiten detectar los pequeños fallos de transcripción presentes en la hoja.