Máximos, mínimos, concavidad, convexidad y límites: guía práctica
Extremos locales y globales, vértice de una parábola, concavidad, convexidad, continuidad y límites con ejemplos y errores frecuentes.
Se conserva el detalle de los apuntes manuscritos, pero cada fórmula y conclusión se ha revisado antes de publicarla. Cuando el apunte contiene una anotación incorrecta o incompleta, se señala expresamente y se muestra el razonamiento correcto.
Máximos y mínimos: locales y globales
Un máximo o mínimo local compara el valor de la función con puntos próximos. Un extremo global compara con todo el dominio. En intervalos cerrados también deben revisarse los extremos del intervalo, porque un máximo o mínimo absoluto puede aparecer allí sin que f′ sea 0.
Vértice de una parábola
Para f(x)=ax²+bx+c, a≠0:
f′(x)=2ax+b
2ax+b=0 ⇒ xᵥ=−b/(2a)
yᵥ=f(xᵥ)
Si a>0 el vértice es un mínimo; si a<0 es un máximo.
Lectura del gráfico de extremos del apunte
En el dibujo sobre el intervalo [0,6] se distinguen expresamente los extremos locales de los absolutos: x=2 es el mínimo global; x=4 es un máximo local que no es global; x=5 es un mínimo local que no es global; y los valores más altos aparecen en los extremos x=0 y x=6. El ejemplo recuerda que, en un intervalo cerrado, los extremos del dominio también deben compararse al buscar óptimos absolutos.
Convexidad, concavidad y punto de inflexión
f″(x)>0 ⇒ convexa (cóncava hacia arriba)
f″(x)<0 ⇒ cóncava (hacia abajo)
Ejemplos del apunte: x² es convexa; −x² es cóncava; x³ es cóncava para x<0 y convexa para x>0. En x=0 cambia la concavidad, por lo que hay un punto de inflexión.
Que f″(a)=0 por sí solo no garantiza un punto de inflexión. Debe producirse un cambio real de concavidad.
Continuidad mediante límites laterales
El apunte estudia:
f(x)=x²+2, x>0
f(0)=1
f(x)=x², x<0
Entonces:
lim x→0⁺ f(x)=2
lim x→0⁻ f(x)=0
Como los límites laterales son distintos, lim x→0 f(x) no existe y la función no es continua en 0. El valor aislado f(0)=1 no puede corregir ese salto.
Un error del apunte que conviene corregir: cos(1/x)
En la hoja aparece junto a este ejemplo una anotación “+∞”. La función cos(1/x) no puede tender a +∞ porque siempre está entre −1 y 1. Lo que ocurre es una oscilación infinita:
xₙ=1/(2πn) ⇒ cos(1/xₙ)=1
yₙ=1/((2n+1)π) ⇒ cos(1/yₙ)=−1
Como se obtienen dos valores límite distintos siguiendo sucesiones que se acercan a 0, el límite no existe.
El mismo oscilador multiplicado por x
−1≤cos(1/x)≤1
−|x|≤x cos(1/x)≤|x|
|x|→0 ⇒ x cos(1/x)→0
El factor x “apaga” la oscilación y el teorema del sándwich fija el límite en 0.
Cocientes de polinomios en el infinito
El resumen continúa con comparación de grados. Por ejemplo:
lim x→+∞ (x²−4x)/(x³−x)=0
Se factoriza x² arriba y x³ abajo, quedando un factor 1/x. En otro ejemplo con grado 3 tanto en numerador como en denominador, los coeficientes dominantes 1 y 2 dan 1/2.
También aparece un cociente cuyos términos dominantes son −2x⁵ y −3x². Su comportamiento dominante es (2/3)x³, así que para x→−∞ el límite es −∞. Esto corrige cualquier lectura positiva del signo final manuscrito.
Límites laterales de 1/x
lim x→0⁺ 1/x=+∞
lim x→0⁻ 1/x=−∞
Por tanto, el límite bilateral en 0 no existe. En cambio:
lim x→+∞ 1/x=0
lim x→−∞ 1/x=0
Al crecer |x| sin límite, su recíproco se aproxima a 0.
Preguntas frecuentes
¿Todo punto con f′(x)=0 es máximo o mínimo?
No. Es un candidato a extremo interior; hay que clasificarlo y también revisar puntos no derivables y extremos del dominio.
¿f″(a)=0 implica punto de inflexión?
No necesariamente. Debe cambiar la concavidad al atravesar a.
¿Por qué no existe lim cos(1/x) cuando x→0?
Porque la función oscila entre valores distintos infinitamente cerca de 0; por ejemplo, existen sucesiones que producen 1 y −1.
¿Por qué sí existe lim x cos(1/x)?
Porque queda acotada entre −|x| y |x|, que tienden ambos a 0.
Checklist completo para representar una función
- Calcular el dominio.
- Buscar cortes con los ejes y regiones de signo.
- Estudiar simetría, paridad y periodicidad.
- Calcular asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
- Resolver
f′=0y construir la monotonía. - Resolver
f″=0y estudiar concavidad, convexidad e inflexiones. - Unir toda la información en la gráfica.
Ejemplo de control: para f(x)=x/(x²+1) el dominio es ℝ, la función es impar, f′=(1−x²)/(x²+1)² y f″=2x(x²−3)/(x²+1)³. La asíntota horizontal es y=0. Escribir “x=0” aquí sería confundir la asíntota horizontal con el eje vertical.
mínimo (−1,−1/2) · máximo (1,1/2)\ninflexiones: (−√3,−√3/4), (0,0), (√3,√3/4)