Composición de funciones, función inversa y paridad: guía con ejemplos
Composición, inyectividad, función inversa, restricciones de dominio y funciones pares e impares con ejemplos desarrollados.
Se conserva el detalle de los apuntes manuscritos, pero cada fórmula y conclusión se ha revisado antes de publicarla. Cuando el apunte contiene una anotación incorrecta o incompleta, se señala expresamente y se muestra el razonamiento correcto.
Composición de funciones
Si f transforma x en f(x) y g admite como entrada esos valores, la composición se escribe:
(g∘f)(x)=g(f(x))
El orden importa: primero se aplica la función interior f y después la exterior g.
Ejemplo desarrollado
f(x)=x²+1
g(t)=2−√t
(g∘f)(x)=2−√(x²+1)
Para x=2: f(2)=5 y después g(5)=2−√5. Como x²+1≥1 para todo x, la raíz siempre está definida y Dom(g∘f)=ℝ.
Qué significa que una función tenga inversa
Para que la inversa sea una función, f debe ser inyectiva en el dominio considerado: cada valor de salida puede proceder de un único valor de entrada. El criterio gráfico equivalente es que cualquier recta horizontal corte la gráfica como máximo una vez.
f⁻¹(f(x))=x
f(f⁻¹(y))=y
Estas identidades se entienden en los dominios correspondientes: x pertenece al dominio de f e y a la imagen de f.
Ejemplo lineal
f(x)=2x−3
y=2x−3 ⇒ x=(y+3)/2
f⁻¹(y)=(y+3)/2
Ejemplo exponencial
f(x)=e^(2x)−3
f′(x)=2e^(2x)>0 ⇒ f es estrictamente creciente
y+3=e^(2x)
f⁻¹(y)=½ ln(y+3), y>−3
La condición y>−3 es el dominio de la inversa porque la imagen de f es (−3,+∞).
Por qué a veces hay que restringir el dominio
f(x)=x² no es inyectiva en ℝ: f(1)=f(−1). Si restringimos el dominio a [0,+∞), se vuelve estrictamente creciente y entonces:
f:[0,+∞)→[0,+∞), f(x)=x²
f⁻¹(y)=√y
La restricción elimina la segunda preimagen −√y.
Funciones pares e impares
Par: f(−x)=f(x)
Impar: f(−x)=−f(x)
En los ejemplos del apunte:
g(x)=x⁴−3 ⇒ g(−x)=x⁴−3=g(x) ⇒ g es par
u(x)=3x³+x ⇒ u(−x)=−3x³−x=−u(x) ⇒ u es impar
Una función par tiene simetría respecto del eje y; una impar, respecto del origen.
Preguntas frecuentes
¿Componer f y g es lo mismo que multiplicarlas?
No. g∘f significa sustituir f(x) dentro de g; no es el producto g(x)f(x).
¿Qué condición básica permite tener una inversa?
La función debe ser inyectiva en el dominio que se esté utilizando.
¿Por qué x² necesita restringirse para tener inversa?
Porque en todo ℝ dos entradas opuestas producen el mismo valor. En [0,+∞) queda una sola preimagen.
¿Cómo se reconoce una función impar?
Al sustituir x por −x se obtiene exactamente el opuesto de la función original: f(−x)=−f(x).
Componer y descomponer: dos ejemplos del nuevo lote
g(u)=u²+3u+1, h(x)=x+1\ng(h(x))=(x+1)²+3(x+1)+1=x²+5x+5.
En sentido inverso, para f(x)=5/(x−2)+4(x−2)³ basta reconocer el bloque repetido x−2:
h(x)=x−2\ng(u)=5/u+4u³\nf=g∘h.
La descomposición no tiene por qué ser única; lo que se comprueba es que la composición reconstruya exactamente la función original y respete su dominio.