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Enunciado
D(r)=(1−20/r)·ln²(10−200/r). Hallar el dominio, estudiar su comportamiento para rentas ilimitadamente grandes y esbozar la gráfica.
Ver solución paso a pasoDesarrollo, resultado e interpretación
Desarrollo paso a paso
1. Dominio
Se exige r≠0 y 10−200/r>0. La desigualdad equivale a (r−20)/r>0, de donde:
Dom D=(−∞,0)∪(20,∞).
Como r representa renta, usamos r>20.
2. Límite para renta alta
lim(r→∞) D(r)=1·ln²(10)≈5,301898.
3. Rasgos útiles para el esbozo
Al acercarnos a 20 por la derecha, D(r)→0. También D=0 cuando 10−200/r=1, es decir, r=200/9≈22,22. Para rentas grandes se aproxima a la horizontal D=(ln10)².
Método utilizado
Dominio, límites y análisis cualitativo
Resultado final
Dominio matemático: (−∞,0)∪(20,∞). Dominio económico natural: r>20. Cuando r→∞, D(r)→(ln 10)²≈5,3019.
Interpretación del resultado
El modelo presenta una demanda que se estabiliza en una asíntota horizontal cuando la renta crece sin límite; por eso un aumento indefinido de renta no produce un aumento indefinido de demanda.