Ejercicio T2.37 resuelto: Inversa global de un polinomio de grado siete y derivada de la inversa

Desarrollo paso a paso

1. Inyectividad

f′(x)=7x⁶+25x⁴+2>0  para todo x.

Además, al ser un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo, su imagen es ℝ. Luego existe una inversa global g.

2. Punto de la inversa

f(0)=−2 ⇒ g(−2)=0.

3. Derivada

g′(−2)=1/f′(g(−2))=1/f′(0)=1/2.

Ampliación del apunte: teorema de la derivada de la inversa

Si f es invertible, y₀=f(x₀), y además f′(x₀)≠0, entonces:

(f⁻¹)′(y₀)=1/f′(x₀)=1/f′(f⁻¹(y₀))

La condición f′(x₀)≠0 es esencial. Por ejemplo, f(x)=x³ es estrictamente creciente y tiene inversa global ∛y, pero f′(0)=0 y la inversa no tiene derivada finita en y=0.

Ejemplo exponencial del resumen

f(x)=2e^(−x)+1
f′(x)=−2e^(−x)<0  ⇒ f es estrictamente decreciente
Im f=(1,+∞)

Despejando:

y=2e^(−x)+1
(y−1)/2=e^(−x)
x=−ln((y−1)/2)=ln(2/(y−1))
f⁻¹(y)=ln(2/(y−1)),  y>1

Derivando directamente o aplicando el teorema:

(f⁻¹)′(y)=−1/(y−1)

El signo negativo refleja que la inversa de una función estrictamente decreciente también es decreciente.

Otro ejemplo del apunte

f(x)=e^(2x)−3
f′(x)=2e^(2x)>0
f⁻¹(y)=½ ln(y+3),  y>−3

Método utilizado

Monotonicidad y teorema de la función inversa