Enunciado
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Desarrollo paso a paso
Rasgos para el dibujo
a) 5x−3: recta, corte x=3/5, pendiente 5. b) x²−x=x(x−1): parábola hacia arriba; ceros 0 y 1; vértice (1/2,−1/4). c) ln x: dominio x>0; corte (1,0); asíntota vertical x=0; creciente. d) 3x/(2−x): dominio x≠2; AV x=2; AH y=−3; corte (0,0). e) x/(x²+1): dominio ℝ; impar; extremos en x=±1 con valores ±1/2; AH y=0. f) |x²−2|: ceros ±√2; refleja hacia arriba el tramo de x²−2 que era negativo. g) eˣ(x−2): cero x=2; y(0)=−2; y′=eˣ(x−1), mínimo en x=1 con −e; AH y=0 al x→−∞. h) eˣ/(1+eˣ): logística; dominio ℝ; 0<y<1; creciente; AH y=0 y y=1; y(0)=1/2. i) x³/(1+x)²: dominio x≠−1; AV x=−1; división: y≈x−2 para |x| grande (asíntota oblicua y=x−2).
Ampliación del escaneo 27/08/2026 12:28 · estudio gráfico completo
e) f(x)=x/(x²+1). El denominador es siempre positivo, de modo que el dominio es ℝ y la función es impar. La asíntota horizontal correcta es y=0; una anotación lateral del manuscrito escribe “x=0”, pero eso confunde la asíntota con el eje vertical.
f′(x)=(1−x²)/(x²+1)² decrece en (−∞,−1), crece en (−1,1), decrece en (1,+∞) mínimo: (−1,−1/2) · máximo: (1,1/2) f″(x)=2x(x²−3)/(x²+1)³ puntos de inflexión: (−√3,−√3/4), (0,0), (√3,√3/4)
g) f(x)=eˣ(x−2). Además del mínimo ya recogido, f″(x)=xeˣ, por lo que cambia de concavidad en x=0 y tiene un punto de inflexión en (0,−2).
h) f(x)=eˣ/(1+eˣ). El nuevo desarrollo completa el perfil logístico:
f′(x)=eˣ/(1+eˣ)² > 0 f″(x)=eˣ(1−eˣ)/(1+eˣ)³ inflexión: (0,1/2) lim x→−∞ f(x)=0 · lim x→+∞ f(x)=1
Variante manuscrita documentada sin sustituir el ejercicio impreso
En otra hoja se desarrolla x³/(1+2x)². El enunciado canónico impreso del ejercicio 15(i) es x³/(1+x)², así que AyL conserva ambos claramente separados y no altera la ficha original.
Variante: v(x)=x³/(1+2x)²
Dom v=ℝ{−1/2}
AV: x=−1/2
AO: y=x/4−1/4
v′(x)=x²(2x+3)/(1+2x)³
También aparecen transformaciones manuscritas de la exponencial del apartado g). Se archivan como material de contraste, pero no reemplazan eˣ(x−2) del ejercicio oficial.
Método utilizado
Dominio, cortes, asíntotas, monotonía y forma global
Resultado final
Interpretación del resultado
Representar una función no consiste sólo en trazar puntos: los dominios, asíntotas, extremos y comportamiento en infinito determinan la forma de cada curva.