41 ejercicios de funciones de varias variables resueltos
Curvas de nivel, isocuantas, límites dobles, continuidad, derivadas parciales, diferenciales, regla de la cadena, marginalidad, elasticidades y aplicaciones económicas.
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Ejercicio 1: Curva de indiferencia de una función de utilidad
u(x,y)=(x+3)²y. a) Curva de indiferencia u=100. b) Comprobar (2,4). c) Dar otra combinación con la misma utilidad.
Ejercicio 2: Existencia de ocho límites dobles en el origen
Estudiar lim_(x,y)→(0,0) de: a) (x+2)/(y²−2xy+4). b) x²+y². c) 3y²−x². d) e^{−2(x²+y²)}. e) x sen(1/y). f) 1/(xy). g) (x+2)/(e^{2x}−e^y). h) |x−y|.
Ejercicio 3: Continuidad de cinco funciones de dos variables
Estudiar continuidad de: a) (x²−y)sen(xy). b) (x³−5xy²+3xy−1)/(x²+xy−y+2). c) √(xy). d) sen(2^{xy}). e) |x−y|.
Ejercicio 4: Derivabilidad parcial y diferenciabilidad de x³y³
Estudiar la derivabilidad de z(x,y)=x³y³. ¿Qué puede concluirse sobre la diferenciabilidad?
Ejercicio 5: Derivadas parciales y mixtas de xy(x²−y²)
Para z=xy(x²−y²), calcular z_x(x,0), z_y(0,y), z_xy(0,0) y z_yx(0,0).
Ejercicio 6: Parciales de primer y segundo orden: ocho funciones
Calcular derivadas parciales de primer y segundo orden de las ocho funciones del ejercicio 6.
Ejercicio 7: Derivadas parciales de primer orden: ocho funciones
Calcular las parciales de primer orden de ocho funciones con productos, exponenciales, logaritmos y cuatro variables.
Ejercicio 8: Primera y segunda diferencial de cuatro funciones
Hallar d z y d²z de: a) x³−3xy+y³. b) sen3x cos4y. c) e^{ax}cos(by). d) x e^{xy}. Evaluarlas en (0,0) y comentar si se obtiene un número.
Ejercicio 9: Aproximación de sen(2x−3y) con diferenciales
f(x,y)=sen(2x−3y). En (π/2,0), con Δx=0,1 y Δy=−0,2, obtener las dos primeras diferenciales, estimar f en el nuevo punto, calcular el valor verdadero y el error.
Ejercicio 10: Aproximar ⁶√65·ln(1,1) sin calculadora
Usar aproximación diferencial/Taylor para calcular aproximadamente ⁶√65·ln(1,1) y comparar con calculadora.
Ejercicio 11: Taylor de eˣ ln(1+y) para x,y pequeños
Comprobar que eˣ ln(1+y)≈y+xy−y²/2 para valores pequeños de x e y.
Ejercicio 12: Ventas marginales respecto al tiempo y la publicidad
x(t,A)=200(5−e^(−0,002A))(1−e^(−t)). Calcular ∂x/∂t y ∂x/∂A, evaluarlas en t=1,A=400 e interpretar.
Ejercicio 13: Producción marginal de un trabajador cualificado
Q(x,y)=1200x+500y+x²y−x³−y². Actualmente x=30 cualificados, y=60 no cualificados. Aproximar el cambio al añadir un cualificado manteniendo y.
Ejercicio 14: Interpretar parciales negativas en una demanda universitaria
N=N(p,t), donde p son costes de alimentación/vivienda y t matrícula. Se sabe N_p<0 y N_t<0. Interpretar.
Ejercicio 15: Productividades marginales con dos máquinas y trabajo
Q(M1,M2,L)=M1²+2M2²+3L²−M1M2L/100. Calcular productividad marginal respecto a M1,M2,L e interpretar.
Ejercicio 16: Productividades marginales de una Cobb-Douglas
z=8L^0,7K^0,3, L,K>0. Calcular productividades marginales y determinar si los factores son normales, competitivos o independientes entre sí.
Ejercicio 17: Productividad marginal en una función kx^a y^b
z=kx^a y^b, x,y>0 y k,a,b>0. a) Productividad marginal de cada factor. b) Si cada marginal crece o decrece con su propio factor. c) Dependencia respecto al otro factor.
Ejercicio 18: Variación aproximada del beneficio con dos productos
Una empresa produce x,y con coste C(x,y) y precios dados p1,p2. Hallar la variación aproximada del beneficio para cambios dx,dy y una expresión que determine si esa variación es creciente, decreciente o constante.
Ejercicio 19: Diferencial de una demanda con dos precios
x=√p_x·ln p_y, con p_x=4 y p_y=e. Estudiar la variación cuando los precios aumentan 0,001 y 0,0002.
Ejercicio 20: Producción Cobb-Douglas y aproximación por diferencial
P=100L^(3/4)K^(1/4). a) Calcular P en L=81,K=16. b) Aproximar el efecto de pasar a L=80,K=17.
Ejercicio 21: Diferencial de P=K L^α C^β
P=K L^α C^β, donde L es trabajo, C capital y K,α,β constantes. Hallar dP y explicar para qué sirve.
Ejercicio 22: Diferencial de una función CES
V=(βK^(−ρ)+αL^(−ρ))^(−1/ρ). Hallar dV, indicar un contexto de uso y dar un ejemplo.
Ejercicio 23: Elasticidades de demanda respecto a precio propio, sustitutivo y renta
q=500−3p1²+2p2+0,02R. Calcular elasticidades en p1=12,p2=8,R=750.
Ejercicio 24: Elasticidades parciales de una demanda con publicidad y renta
d(p,A,r)=100−2p+10lnA+8lnr. Hallar las elasticidades parciales respecto a p,A,r.
Ejercicio 25: Demandas marginales, elasticidades y relación entre dos bienes
x=4/(p²q), y=16/(pq²), donde p y q son sus precios. Calcular demandas marginales, elasticidades parciales y relación entre bienes.
Ejercicio 26: Sensibilidad del precio de equilibrio a parámetros de oferta y demanda
Oferta q_s=−1+αp (α>0) y demanda q_d=3−βp (β>0). a) Hallar p*. b) Hallar ∂p*/∂α y ∂p*/∂β e interpretar.
Ejercicio 27: Recta presupuestaria con dos bienes
Presupuesto de 100 €, precio de A=5 €/u y de B=12 €/u. Escribir G(x,y), la ecuación presupuestaria, despejar y(x) y calcular y(8).
Ejercicio 28: Isocuantas de Q(K,L)=10√K·L²
Q(K,L)=10K^0,5L². Obtener e interpretar las isocuantas para Q=10 y Q=100 y representarlas.
Ejercicio 29: Coste C(x,p)=600√p ln x y sensibilidad al precio de inputs
C(x,p)=600√p·ln x. a) Dominio matemático y económico. b) Efecto de un aumento unitario de p sobre el coste marginal en (x,p)=(100,4). c) Variación aproximada del coste si p pasa a 4,1. d) Variación aproximada del coste marginal.
Ejercicio 30: Utilidad marginal y rendimientos marginales en U=ln(1+xy)
U(x,y)=ln(1+xy), con consumo actual (10,10). Hallar U_x, justificar que disminuye al aumentar x y que aumenta al aumentar y.
Ejercicio 31: Interpretar una segunda derivada del beneficio
B(x,y) es el beneficio de una empresa y B_yy(3000,1000)=−0,3. Interpretar económicamente este dato.
Ejercicio 32: Cómo cambia con el tiempo la sensibilidad de una demanda al precio
D(p,r,t)=(√t+0,1t)/p². Razonar si la derivada respecto al precio aumenta o disminuye con el tiempo.
Ejercicio 33: Aproximar el beneficio tras tres meses con una diferencial temporal
B(p,q,t)=100e^{0,1t}(10p−2q). En t=0, p=1, q=2. Aproximar el incremento del beneficio tras tres meses (Δt=1/4) sin sustituir en la función.
Ejercicio 34: Beneficio con IPC variable: derivada total a corto plazo
B(t,p)=(4+0,2t)/√(p²−5), con t=1, p=3 y p′(1)=0,2. Determinar si el beneficio aumenta o disminuye a corto plazo.
Ejercicio 35: Demanda dependiente de tiempo, precio y renta: parcial frente a derivada total
D(t,p,r)=1000(r/p)e^{−t/10}. En (0,2,400), hallar D_t e interpretar. Si p′(0)=0,2 y r′(0)=15, calcular la derivada total de la demanda.
Ejercicio 36: Beneficio total cuando la producción también altera los costes
C(x)=2000+5x y B=B(x,C,D). En el punto actual B_x=8, B_C=−3, B_D=10. a) Decidir si producir una unidad más aumenta el beneficio en 8. b) Decidir si conviene aumentar producción, suponiendo D constante.
Ejercicio 37: Beneficio con precio ajustado endógenamente por tiempo y materia prima
B(p,q,t)=1000e^{0,1t}(10p−2q), con p=1,q=2,t=0. a) Hallar B_t. b) Si p=p(q,t), p_q(2,0)=0,1 y p_t(2,0)=0,2, estudiar cómo cambia la previsión.
Ejercicio 38: Isocuanta y Relación de Sustitución Técnica de Q=3K²L³
Q(L,K)=3K²L³, con situación actual (K,L)=(5,4). Hallar isocuanta actual, K(L), RST=−K′(L) y RST actual.
Ejercicio 39: Curva de indiferencia y Relación Marginal de Sustitución
U(x,y)=√x+√y, con consumo actual (9,4). Hallar utilidad, curva de indiferencia y RMS=−y′(x) en x=9.
Ejercicio 40: Sustituir trabajadores por una máquina manteniendo la producción
Q(K,L)=K²L. Situación actual K=20,L=100. Hallar producción, isocuanta, L(K), derivada en K=20 y número de trabajadores que podrían sustituirse al añadir una máquina.
Ejercicio 41: Demanda de dos bienes: marginalidad, elasticidad cruzada, diferencial y Taylor
D(p,q)=1000−(1+p+q)e^(1−q), donde p es el precio del bien A y q el precio de un bien B alternativo. a) Calcular D_p y D_q, evaluarlas en (1,1) e interpretar. b) Clasificar la relación entre A y B. c) Calcular la elasticidad puntual cruzada en (1,1). d) Usar la diferencial en (1,1) para aproximar D(1,1;0,9). e) Construir Taylor de orden 2 en (1,1) y aproximar D(1,1;0,9).