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Enunciado
D(t,p,r)=1000(r/p)e^{−t/10}. En (0,2,400), hallar D_t e interpretar. Si p′(0)=0,2 y r′(0)=15, calcular la derivada total de la demanda.
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Desarrollo paso a paso
Parciales
D_t=−100(r/p)e^{−t/10};
D_p=−1000r p^{-2}e^{−t/10};
D_r=1000p^{-1}e^{−t/10}.
En (0,2,400)
D_t=−20.000; D_p=−100.000; D_r=500.
Derivada total
dD/dt=D_t+D_p p′+D_r r′ =−20.000−100.000(0,2)+500(15)=−32.500.
Método utilizado
Regla de la cadena multivariable
Resultado final
D_t(0,2,400)=−20.000. Con p′=0,2 y r′=15, dD/dt=−32.500 unidades por año.
Interpretación del resultado
La derivada parcial temporal subestima la caída esperada porque ignora la subida del precio; el aumento de renta compensa una parte, pero no toda, de esa caída.